サンプルが簡単なセットですが、その補数からサンプリングするのが難しい

Question

セット $ s \ subeteq \ {0,1 \} ^ * $ 、アルゴリズム $ a $ は、 $ n $ ランダムビット $ s $ です。 "math-container"> $ x \ in \ {0,1 \} ^ n $ 、 $ a $ の要素を生成します。 span class="math-container"> $ n $ 、および $ a $ $ s $ >少なくとも $ \ fRAC {2} {3} $ のメンバーのメンバーのメンバーのメンバーは、サイズの$ s $ $ n $ （すべての $ n $ ）。 $ a $ は、一様である必要はありません。

セット $ s $ は、効率的なアルゴリズム $ a $ が存在するようなものです。すべての $ n $ 、 $ a $ は少なくともを生成します。 $ \ fRAC {2} {3} $ $ s $ のメンバー（サイズ $ n $ < / SPAN>）、しかし $ s ^ c $ のための任意の効率的なアルゴリズムは、 $ \ frac {1}でのみ生成できます。 {3} $ $ s ^ c $ の要素 $ n $ 複雑さの評価）？

Answer 1

$ a $ が存在するように、 $ s $ を作成できます。 $ s ^ {c} $ のための発電機はありません。 $ s $ を選択して、 $ 1 $ で始まるすべての文字列があり、すべての文字列の正確に半分 $ 0 $ から始めてください。

$ x $ の最初のビットを $ 1 $ に設定するサンプラーを設定し、常に生成します。 $ s $ 内の要素、および正確に $ \ frac {2} {3} $ を生成します。 $ s $ 。

しかし、一般的な場合の $ s の補完からのサンプリングは、必要以上にさらに難しいです。 $ S $ $ n、x= 0 ^ {n} $ が存在するチューリングマシンが存在しないため、 $ s $ の長さ $ n $ $ 1 $ 。さらに、そのようなセット $ s $ を明示的に構築することができます。

これは、対角標本引数によって証明するのは簡単です。 $ k_ {w、n} $ の文字列のセットには、 $ n $ のセットです。 SPAN CLASS="math-container"> $ w $ 。切り出された数のチューリングマシンがありますので、 $ m_ {i} $ $ i $ です。チューリング機械。 $ n \ geq 2 $ の場合は、 $ m_ {n-1} $ on入力 $ n、x= 0 ^ {n} $ $ k_ {00、n} $ <} $ <} $ <} $ < / span>、set $ s_ {n}= k_ {1、n} \ cup k_ {00、n} $ 。それ以外の場合は、 $ s_ {n}= k_ {1、n} \ cup k_ {01、n} $ です。その後 $ s={\ epsilon、1 \} \ cup \ bigcup_ {i= 2} ^ {\ infty} s_ {i} $ はそのようなセットの1つです。