ユニークな3 SATに固有の1-IN-3SAT

Question

サイズ2と3の句を含むCNF式を持っているとします。それは独特の満足のいく割り当てを持っています。

2値乗算回路から、2つのプリム数AとBを乗算した。ここで、Sは半蓄積されたものである。 a！= 1、b！= 1と<= bという条件を追加してから、式の値を式に追加して、割り当てが一意であることを確認してください。式を満たす唯一の方法は、入力ビット内のプリムAとBの値を正しい順序で行うことです。

1-in-3satでは、各トリプレットでは、正確に1リテラルが正確になるはずです。正確に2つのリテラルが正しい場合、同等の1-in-3sat句を取得するために節内のすべてのiteralsをフリップすることができます（つまり、2-in-3satは同じ問題です）。

基本的な観察：通常または句で1つの可能性を排除するが、1-in-3節は8のうち5つの可能性を排除する。

3SATは、3SAT式が満足できる場合、還元式であるように、1インチ3飽和に還元することができる。

しかしながら、値を強制することなく新しい変数を導入することで、課題数を保存するようには見えない。

ユニークな3SATは一意の1-IN-3SATに縮小できます...

1. 正しい課題を知らずに？
2. そうでなければ、正しい課題を知っている間？

Answer 1

はい、3 SAT式 $ \ phi $ は、1 in-3 SAT式に変換できます。満足課題の数を保存しながら、$ \ PHI '$ 。あいまいさを避けるために、3-SAT句のリテラル間の「 $ \ vee $ を使用し、1-in-3 SAT句のリテラル間のコンマ。< / P>

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$ a $ と $ b $ の2つのリテラルを指定してください。新しいタイプの句をシミュレートします。 $（x= a \ wedge b）$ の値は、新しい変数 $ xの値を強制します。 $ a \ WERGS B $ は、新しいソリューションを導入せずに1-In-3 SATの制約を使用しています。

クラジェースを検討します。 $$ （\ overline {b}、c、x）\ウェッジ （A、C、D）\ウェッジ （\ overline {a}、e、x）\ wedge （B、E、F） $$

$ a=top $ 、 $ b=top $ 、2ndおよび4th句は、 $ c= d= e= f=bot $ を保証します。その後、1番目と3番の句は、 $ x=top $ を保証します。

$ a=top $ 、 $ b=bot $ の場合、2nd句は、 $ c= d=bot $ を保証します。 1st句は、 $ x=bot $ を保証します。 3RD句は、 $ e=top $ を保証し、4th句は $ f=bot $ 。

$ a=bot $ 、 $ b=top $ は対称です。

$ A=bot $ と $ b=bot $ 、そして1位と3RD句は $ c= e= x=bot $ です。 2番目と4番の句は、 $ d= f=top $ です。

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3SATの式 $¥PHI $ を式 $ \ hi '$ <$ < /スパン> 1-IN-3 SAT。 $ \φ$ の句 $（a \ vee b \ vee c）$ 。これは以下の1-IN-3 SAT句に変換できます。

• 新しい変数 $ x $ を追加するiff $ a $ はfalseです。 $ b $ はtrueです。これは、 $（x=overline {a} \ wedge b）$ によってエンコードされています。

• 新しい変数 $ y $ を追加する $ a $ はfalseです。 、 $ b $ はfalse、 $ c $ がtrueです。追加の変数 $ z $ が必要です。句 $（z=overline {a} \ wedg \ overline {b}）$ $ z $ < / SPAN>は $ a $ がfalseと $ b $ の場合に限られています。次に、 $ y $ の値を $（y= z \ wedge c）$ 。

• $（a \ vee b \ vee c）$ はtrueです。 $の少なくとも1つ$ 、 $ b $ 、または $ c $ はtrueです。つまり、 $ a $ 、 $ x $ 、および $ Y $ が真です。 $（a \ vee b \ vee c）$ の場合、 $ a $の場合、 $ x $ 、および $ y $ はfalseです。これは、 $ が$ $（a、x、x、x、 y $ ）は満足できません。

その後、元の3 SAT式 $ \ \φ '$ を構築しました。 class="math-container"> $ \ phi $ 。 $ \ phi '$ の変数への真理割り当ては、 $ \φ' $ を満たしています。 $ \ phi $ の変数に制限されている割り当ては、 $ \ phi $ を満たします。 したがって、 $ \ phi '$ への新しい解決策が紹介されている場合は、新しく追加された変数 $ xのためである必要があります。 $

n>、 $ y $ 、および $ z $ （各句ごとに1つ）。ただし、これらの変数の値は、 $¥PHI $ の変数の値によって完全に決まります。

Answer 2

このような減少は、RégisBarbanchonの付録B、に記載されています。平面内の着色性と疑似的な減少バーバンチョンはそれを前の仕事に属しています（書誌の「9」）。他の場所では、私は彼が彼の有名な二分性定理を証明したSchaeferの有名な紙への帰属を見ました、それは他の間で3satから1-in-3satへの減少を与えています、そしてそれはおそらく倹約的な（私はチェックされていません）。