製品分布のための通信複雑さ.

Question

一般的に（2）設定された長さNの入力のための間隔の問題のために、当局は $ \ omomega（n）$ を通信する必要があることを知っています。 。驚くべきことに、今日、私はこれが製品分布に当てはまりませんでした（私が正しく理解していた場合）、すなわちアリスの入力とボブの入力が任意の分布から独立して選択されたことを発見しました！この紙は、例えば、通信複雑さ $ \ mathcal {O}（\ sqrt {n} \ log（1 / \ epsilon））$ 。ここで、 $ \ epsilon $ ここでの質問に関連しないエラー用語がいくつかあります。 今、私は他の周知のコミュニケーションの複雑さ問題についてgapが存在するかどうかについて興味があります。

質問：他の有名な問題は、任意の入力分布や製品分布を考慮しているときに、通信の複雑さの間のギャップを示しています。内部製品や交差点についても同様の結果がありますか？

Answer 1

設定された絶頂の難易度は製品分布であることから非常に遠く離れているため、製品分布が容易になります。内部製品のための難しい分布 $（x、y）$ から何を必要としますか？ $ x、y $ のそれぞれが別々にランダムになり、 $ x \ cdot y $ ほとんどがゼロになるには、 $ x \ cdot y $ で、ほとんどの $ 1 $ を含みます。これは製品分布によっては達成できません。 $ x \ cdot y $ プロパティを取得することができますが、これは2つの入力のそれぞれが非常にバイアスされることを意味します。逆に、入力 $ x、y $ がかなりランダムである場合、 $ x \ cdot y $ 多くの $ 1 $ s。

内部製品機能は同じ問題に悩まされていません。確かに、最も難しい分布は均一な分布です。これは標準的な方法を使用して線形下限を証明することができ、 LindseyのLemma として知られている矛盾に関する限界を使用します。

Sherstovは、彼の論文に最適なギャップの例を思い付きました製品および非製品分布の下での通信複雑さ。彼の関数はランダムな関数です。これは、大きな単色の $ 1 $ -rectanglesがないように選択されました。最後の結果は、ランダム化された通信の複雑さが $ \ omomega（n）$ x である関数ですが、任意の製品配布のために、ランダム化された通信の複雑さは $ O（1）$ 。