モノトーン3-SATは、正確に3つの異なる変数が破損できますか？

Question

次のSATバリエーションを与えました：

CNFの式fを与えられると、各句cが正確に3つの異なるリテラルを持ち、fの各Cの場合はすべてのリテラルが正またはすべてのリテラルが否定されます。例：

$ f=（x_1 \ vee x_2 \ vee x_4）\ wedge（\ Neg x_2 \ vee \nx_3 \ vee \ neg x_4）\ wedge（x_3 \ vee x_4 \ vee x_5）$

は土手タークルの変化がありますか？

私の発見結果：

私は問題がNP完成であり、したがって取引できないと思われる。したがって、3飽和から上記の変形例への多減を行いたい。

任意の3飽和式をモノトーン3-Satに変換することができる。

次の例の例：

$ c_1=（x_1 \ vee x_2 \ vee \ neg x_3）$ とdefine $ z_3 $ $ \ neg x_3 \ leftrightarrow z_3 $ と $ x_3 \ leftrightarrow \ neg z_3 $ これは同等です。 $（x_3 \ vee z_3）\ wedge（\ neg x_3 \ vee \ neg z_3）$ 。

それから、 $ c_1 $ によって

の単調な形式を取得します。

$（x_1 \ vee x_3 \ vee \ neg x_3）\ leftrightarrow（x_1 \ vee x_2 \ vee z_3）\ wedge（x_3 \ vee z_3）\ wedge（\ neg x_3） \ vee \ neg z_3）$

この変換をすべての節に適用することによって、私は等しく満足できる単調な3飽和式を得る。

私の削減は、非モノトーン条項ごとに2つのリテラルを持つ追加の2つの節を生産しますが、正確に3つの異なるリテラルを持つ単調な句だけを手に入れるのですか？

Answer 1

私は今私自身の質問に答えようとします、そして、同僚に関するいくらかのフィードバックについて喜んでいます。

上記の問題のように、Kyle Jonesによって議論され指摘されています。任意の3飽和式を単調な3飽和式に減らすことができます。

例えば $ c=（x_1 \ vee x_2 \ vee \ neg x_3）$ に変換することができます $ C '（x_1 \ vee x_2 \ vee z_3）\ wedge（z_3 \ vee x_3）\ wedge（\ neg z_3 \ vee \nx_3）$ 。 $ c $ が満足できる $ c '$ も満足できるかどうかを確認できます。 "Math-Container"> $ C $ は満足できません $ c '$ も満足できません。

次のステップは、3リテラル未満のすべての節を3文字未満の文字句に変換することです。

<したがって、 $ c_1=（x_1 \ vee x_2）$ に対応し、それを $ c_1 '=に変換します（ X_1 \ vee x_2 \ vee y_1）\ wedge（x_1 \ vee x_2 \ vee y_2）\ wedge（x_1 \ vee x_2 \ vee y_3）\ wedge（\ neg y_1 \ vee \ neg y_2 \ vee \ neg y_3）$ $ c_1 $ が満足できる $ c_1 '$ の場合は、 $ c_1 $ は満足できません $ c_1 '$ も満足できません。 $ c_2=（¥neg x_1¥vee¥neg x_2）$ $ C_2 '=（\ NEG X_1 \ VEE \ NEG X_2 \ VEE \ NEG U_1）\ wedge（\ NEG X_1 \ VEE \ NEG X_2 \ VEE \ NEG U_2）\ wedge（\ NEG X_1 \ vee \ neg x_2 \ vee \ neg u_3）\ wedge（u_1 \ vee u_2 \ vee u_3）$

2つの変換を適用することによって、任意の3-SATインスタンスを単に3つの異なるリテラルでモノトーン3-SATインスタンスに変換することができます。変換を容易に見られるように、変換は多項式の複雑さを有する。したがって、3-SATがNP硬質であるため、縮小はNP-HARDでなければなりません。