Монотон 3-сел с ровно 3 разных переменных неверных?

Question

Я дал следующее изменение SAT:

Учитывая формулу F в CNF, где каждая пункт C имеет ровно 3 отдельных литерала, и для каждого C в F, либо все литералы положительные, либо все литералы отрицаются. Пример:

$ f= (x_1 \ vee x_2 \ vee x_4) \ quitge (\ neg x_2 \ vee \ neg x_3 \ vee \ neg x_4) \ enge (x_3 \ vee x_4 \ vee x_5) $

Это вариация прослушивана?

Мои выводы до сих пор:

Я подозреваю, что проблема NP-полная и, следовательно, не прослушивана. Таким образом, я хотел бы выполнить поли-уменьшение от 3-SAT до изменения, описанного выше.

Произвольная формула 3-SAT может быть преобразована в монотонные 3-SAT.

Внести следующий пример:

$ c_1= (x_1 \ vee x_2 \ vee \ neg x_3) $ и определить $ z_3 $ by $ \ neg x_3 \ leftrightarrow z_3 $ и $ x_3 \ leftrightarrow \ neg z_3 $ который эквивалентен Для $ (x_3 \ vee z_3) \ enge (\ neg x_3 \ vee \ neg z_3) $ .

Из этого мы получаем монотонную форму $ C_1 $ путем

$ (x_1 \ vee x_2 \ vee \ neg x_3) \ leftrightarrow (x_1 \ vee x_2 \ vee z_3) \ enge (x_3 \ vee z_3) \ enge (\ neg x_3 \ vee \ neg z_3) $

, применяя это преобразование ко всем пунктам, я получаю формулу монотонной 3-SAT, которая одинаково удовлетворяется.

Мое уменьшение производит дополнительные 2 пункта с 2 литералами для каждой немонотонной статьи, но как мне получить только монотонные пункты с ровно 3 различными литералами?

Answer 1

Я постараюсь ответить сейчас на мой собственный вопрос, и был бы рад, что некоторые кормлены обратно относительно неправительности.

Как в вопросе выше, обсуждаемого и указываю на Кайл Джонс, мы можем уменьшить формулы произвольного 3-SAT для монотонных формул 3-SAT.

Например, пункт $ c= (x_1 \ vee x_2 \ vee \ neg x_3) $ может быть преобразован в $ C '(x_1 \ vee x_2 \ vee z_3) \ enge (z_3 \ vee x_3) \ enge (\ neg z_3 \ vee \ neg x_3) $ . Можно проверить, является ли $ c $ удовлетворятельно $ C '$ также удовлетворен, а если $ C $ не удовлетворяется $ C '$ также не удовлетворен.

Следующим шагом является преобразование всех пунктов с менее чем 3 литералами, чтобы положения с ровно 3 отдельными литералами.

Следовательно, возьмите, например, $ C_1= (x_1 \ vee x_2) $ и преобразовать его в $ C_1 '= ( x_1 \ vee x_2 \ vee y_1) \ enge (x_1 \ vee x_2 \ vee y_2) \ weed (x_1 \ vee x_2 \ vee y_3) \ enge (\ neg y_1 \ vee \ neg y_2 \ vee \ neg y_3) $ Тогда еще раз, если $ C_1 $ удовлетворяется $ C_1 '$ также удовлетворен, а если $ C_1 $ не удовлетворяется $ C_1 '$ также не удовлетворен. То же самое можно сделать для отрицательного случая, т.е. $ c_2= (\ neg x_1 \ vee \ neg x_2) $ может быть преобразован в $ C_2 '= (\ neg x_1 \ vee \ neg x_2 \ vee \ neg u_1) \ enge (\ neg x_1 \ vee \ neg x_2 \ vee \ neg \ neg) \ enge (\ neg x_1 \ vee \ neg x_2 \ vee \ neg u_3) \ enge (u_1 \ vee u_2 \ vee u_3) $

При применении двух преобразований можно преобразовать произвольный 3-SAT экземпляр в экземпляр монотонного 3-SAT с ровно 3 различными литералами. Как можно легко увидеть выше преобразований обладает полиномиальной сложностью. Поэтому, так как 3-SAT - это NP-Hard, уменьшающееся aswell должно быть NP-Hard.