交差点のグラフのスパニングツリー
https://cs.stackexchange.com/questions/128635
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29-09-2020 - |
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Russian質問
$ n $ セット、 $ x_i $ 、それぞれ $ n $ 要素以下、 $ m \ gt n $ 要素のセットの中に描画されます。言い換えると $$ \ forall i \ in [1 \ ldots n]、〜| x_i | \ le n~ \ wedge~ \ fert | \ bigcup_ {i= 1} ^ n x_i \ right | \ LE M $$
$ x_i $ をノードとして取ることによって形成される完全なグラフ $ g $ を考える対称差の枢機卿によってすべてのEdge $（i、j）$ $ x_i \ triangle x_j $ 。
最小スパニングツリーの重みに即座にバインドされている各エッジが
図のために、 $ 2 p $ セット、 $ p $ の整数を含む $ 1 $ と $ p $ と $ p $ $ p + 1 $ と $ 2p $ の間の整数を含む。最小スパニングツリーには、重み $ p $ がありますが、このグラフ上の貧弱な選択ツリーは重みを持ちます $（p-1） P $ 。直感的に、 $ m $ の値がある場合、セットはすべて互いに異なるものではありません。
編集： 投稿者Dmitryは、以下のNice ConterExampleを示しており、 $ m $ はほぼ $ n ^ 2 $ です。 。
$ m=mathcal {o}（k n）$ の場合には、依然として興味があるでしょう。スパニングツリーの重みは $ \ mathcal {O}（f（k）n）$ によってバインドできますか？ $ \ mathcal {O}（f（k）n \ log ^ c n）$ ？
解決
面白い質問。
当然の直感は、おそらく、Cardinalityの2つのランダムサブセット="Math-Container"> $ n $ の2つのランダムサブセット="math-container"> $ cnから描かれたガイドラインに沿っているべきです。 $ いくつかの定数の要素 $ c $ は、1に非常に近い確率、したがって最小スパニングツリーの重みとは大きく異なります。グラフ $ g $ は、 $ \ mathcal \ theta（n ^ 2）$ です。しかし、そのガイドラインが正しいことを証明することはできません。
代わりに、一連の一連の例を提出します。具体的には、ある $ n $ から（任意の大きな）、 $ n $ セットがあります。 $（n-1）/ 2 $ $（n-1）/ 2 $ $ n $ 要素から描かれた要素を持つ要素また、任意の2つのセット間の対称差の基数は、 $（n-1）/ 2 $ 以上のものです。したがって、最小スパニングツリーの重みは $（n-1）^ 2/2=mathcal \ theta（n ^ 2）$ 以上です。
これは二次残余
を使用した構造です。例 $ n= p $ を奇数のプライムにします。 $ x_0 $ $ p $ のすべてのゼロ以外の2次残りのセット、0から< SPAN CLASS="math-container"> $ P-1 $ 包含。言い換えれば、 $$ x_0={0 \ lek \ lt p：\ left（\ frac {k} p \ right）= 1 \} $$ $ \ wherm（\ frac {\ cdot} p \ right）$ は Legendre Symbol 。 $ 0 \ le i \ lt p $ の場合、 $ x_i $ " $ x_0 $ plus $ i $ "、つまり $$ x_i={0 \ le k \ lt p：\ left（\ frac {ki} p \ right）= 1 \} $$ それから $ | x_i |=frac {pすべての $ i $ と $ | x_i \ triangle x_j | \ ge \ frac {P-1} 2 $ すべての $ i \ not= j $ 。
証明： $ \ left（\ frac {\ cdot} p \ right）$ は $ - 1 $ 、 $ 0 $ 、または $ 1 $ $ 1以降\ wherd（\ frac {\ cdot} p \ right）\ ge0 $ 。したがって、
$$ \ begin {整列}
＆\ quad \ quad \ sum_ {0 \ le k \ lt p} \ left（1 + \ left（\ frac {ki} p \ right）\左（1 + \ left（\ frac {kj} \そうそう）\\
＆\ ge \ sum_ {0 \ le k \ lt p \、\ land \、\ left（\ frac {ki} p \ right）= 1 \、\ land \、\左（\ frac {kj} p \ right ）\ right）\ right）\ right）\左（1 + \ left（\ frac {kj} p \ right）\ right）\ reamt \ n
＆=sum_ {0 \ le k \ lt p \、\ land \、\ left（\ frac {ki} p \ right）= 1 \、\ land \、\ rewlt（\ frac {kj} p \ right）= 1} 4 \\
＆= 4 \、| X_I \ CAP X_J |
\ end {aligned} $$
その一方で、私たちは持っています
$$ \ begin {整列}
＆\ quad \ quad \ sum_ {0 \ le k \ lt p} \ left（1 + \ left（\ frac {ki} p \ right）\左（1 + \ left（\ frac {kj} \そうそう）\\
＆=sum_ {0 \ lek \ lt p} \ left（1 + \ left（\ frac {ki} p \ right）+ \ left（\ frac {kj} p \ right）+ \ left（\ frac { p \ right）\ right（\ frac {kj} p \ right）\ \\
＆= P + 0 + 0 + \ SUM_ {0 \ le k \ lt p} \ frac {k ^ 2-（i + j）k + ij}
＆= P-1
\ end {aligned} $$
$ p \ nmid（ - （i + j））^ 2-4ij=（ij）^ 2 $ は、上記の最後の平等は
具体的な例を高く評価する人のために、 $ n= 17 $ のときのセットは、 $ | x_i \ Triangle X_J | \ GE 8 $ 。 $$ \ begin {整列} X_ {0}＆={\ {1} 2、\ Phantom {1} 4、\ Phantom {1} 8、\ Phantom {1} 9,13,15,16 \} \ \ X_ {1}＆={\ {1} 3、\ PHANTOM {1} 5、\ Phantom {1} 9,10,14,16、\ Phantom {1} 0} \ \ x_ {2}＆=¥{¥Phantom {1} 3、¥Phantom {1} 6,10,11,15、¥Phantom {1} 0、¥Phantom {1} 1 \} \ \ x_ {3}＆={\ hantom {1} 4、\ Phantom {1} 5、\ Phantom {1} 7,11,12,16、\ fant
OM {1} 1、\ Phantom {1} 2 \ \ \\ x_ {4}＆={\ {1} 6、\ Phantom {1} 8,12,13、\ Phantom {1} 0、\ Phantom {1} 2、\ Phantom { 1} 3 \ 3 \ \\ x_ {5}＆={\ Phantom {1} 6、\φ{1} 9,13,14、\ Phantom {1} 1、\ Phantom {1} 3、\ Phantom { 1} 4 \ \\ x_ {6}＆={\ hantom {1} 7、\ Phantom {1} 8,10,14,15、\ Phantom {1} 4、\ Phantom {1} 5 \} \ \ X_ {7}＆={\ hantom {1} 8、\ Phantom {1} 9,11,15,16、\ PHANTOM {1} 5、\ Phantom {1} 6 \} \ \ x_ {8}＆={\ hantom {1} 9,10,12,16、\φ{1} 4、\ Phantom {1} 6、\ Phantom {1} 7 \} \ \ X_ {9}＆={10,11,13、\ Phantom {1} 1、\ Phantom {1} 5、\ Phantom {1} 7、\ Phantom {1} 8 \} \ \ x_ {10}＆={11,12,14、\ Phantom {1} 2、\ Phantom {1} 6、\ Phantom {1} 8、\ Phantom {1} 9 \} \ \ x_ {11}＆={12,13,15、\φ{1} 3、\ Phantom {1} 7、\ Phantom {1} 9,10 \} \\ X_ {12}＆={13,14,16、\ Phantom {1} 4、\ Phantom {1} 8,10,11 \} \\ X_ {13}＆={14,15、\ Phantom {1} 4、\ Phantom {1} 5、\ Phantom {1} 9,11,12 \} \\ x_ {14}＆={15,16、\ Phantom {1} 5、\ Phantom {1} 6,10,12,13 \} \\ x_ {15}＆={16、\φ{1} 0、\ Phantom {1} 6、\ Phantom {1} 7,11,13,14 \} \\ x_ {16}＆={\ {\ hantom {1} 0、¥Phantom {1} 3、¥Phantom {1} 7、¥Phantom {1} 8,12,14,15 \} \ \ \ end {aligned} $$他のヒント
できません。 $ k $ の次のセットを考えてください。 $ m= k ^ 2 $ （それらの両方があります $ 2 $ の力）：
- $ \ {1..k \} $ 、 $ \ {k + 1..2}} 、 $ \ ldots $ 、 $ \ {m-k + 1..M} \} $
- $ \ {1,3,5、\ \ {1,3,5、\ ldots、2k-1 \} $ 、 $ \ {2 、4,6、\ ldots、2k \} $ 、 $ \ {2K + 1,2K + 3、\ ldots、4k - 1 \}} $ 、 $ \ {2k + 2,2k + 4、\ ldots、4k \} $ 、 $ \ \ ldots $ < / span>
- $ \ {1,5,9、\ \ {1,5,9、\ ldots、4k - 3 \} $ 、 $ \ {2 、6,10、\ ldots、4k-2 \} $ $ \ ldots $ 。
各対称差は少なくとも $ \ frac k2 $ です。 各レベルには $ \ frac mk $ セットがあり、 $ 1 + \ log \ frac mk $ レベルがあります。 。したがって、 $ \ frac mk（1 + \ log \ frac mk）$ セットがあります。 各セットにはセット数でカーディナリティが必要なので、 $ k \ le \ frac mk（1 + \ log \ frac mk）$ を持つ必要があります。 $ m= k ^ 2 $ のときに満足しています。
最小スパニングツリーのサイズは少なくとも $ \ frac k 2 \ cdot \ frac mk（1 + \ log \ frac mk）=omega（m \ log m）$ 。
