교차 세트의 그래프에서 트리에 걸리기

Question

$ n $ 세트, $ x_i $ 을 고려하십시오. 각각 $ n $ 요소 이하, 대부분의 $ m \ gt n $ 요소들 사이에서 그려진 요소. 다시 말해 $$ \ FORALL i \ 1 \ LDOTS N], ~ | x_i | \ le n ~ \ 웨지 ~ \ left | \ bigcup_ {i= 1} ^ n x_i \ right | \ le m $$

모든 $ x_i $ 을 노드로 가져 와서 $ g $ 을 고려하십시오. 모든 EDGE $ (i, j) $ $ x_i \ triangle x_j $ .

최소 스패닝 트리의 무게에 대한 즉각적인 바인딩은 $ \ mathcal {o} (n ^ 2) $ (n ^ 2) $ 이기 때문에 $ 2 n $ , $ \ mathcal {o} (m) $ ? 그림의 경우 $ 2 p $ sets, $ p $ SPAN 클래스="수학 용기"> $ 1 $ 및 $ P $ 및 $ P $ $ P + 1 $ 및 $ 2p $ 사이의 정수를 포함합니다. 최소한의 스패닝 트리에는 $ p $ 이 그래프의 가난하게 선택한 트리는 $ (p-1) P $ . 직관적으로, $ m $ 값이있는 경우 세트는 모두 서로 다를 수는 없을 것입니다.

편집 : 기고가 드미트리는 $ M $ 이 거의 $ n ^ 2 $ 이 아닙니다. .

$ m=mathcal {o} (kn) $ 인 경우 여전히 관심이있을 것입니다. 스패닝 트리의 무게가 $ \ mathcal {o} (f (k) n) $ 에 의해 바인딩 될 수 있습니까? $ \ mathcal {o} (f (k) n \ log ^ c n) $ ?

Answer 1

흥미로운 질문.

오른쪽 직감은 일부 $ CN에서 그려진 카디널리티 $ n $ 의 두 개의 임의의 서브 세트가 지침을 따라야 할 것입니다. $ 일부 상수 $ C $ 은 서로 매우 가까운 확률과 매우 크게 서로 다르므로 최소 스패닝 트리의 무게 그래프 $ g $ 은 $ \ mathcal \ theta (n ^ 2) $ 을 평균적으로해야합니다. 그러나 지침이 올바른지 증명할 수는 없습니다.

대신에, 나는 하나의 일련의 예를 제시 할 것이다. 보다 구체적으로, 일부 $ n $ (임의의 큰 일 수 있음), $ n $ 세트가 있습니다. $ n $ 요소로부터 그려진 $ (n-1) / 2 $ 요소를 갖는 각 요소 이와 같이, 임의의 두 세트 간의 대칭 차이의 카디널리티가 $ (n-1) / 2 $ 보다 적지 않도록합니다. 따라서 최소 스패닝 트리의 무게는 $ (n-1) ^ 2 / 2=mathcal \ theta (n ^ 2) $

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여기 2 차 잔류 물 .

예제. $ n= p $ 은 홀수 프라임이됩니다. $ x_0 $ $ p $ 0과 < SPAN 클래스="수학 용기"> $ P-1 $ 을 포함합니다. 즉, $$ x_0={0 \ le k \ lt p : \ left (\ frac {k} p \ right)= 1 \} $$ 여기서 $ \ left (\ frac {\ cdot} p \ right) $ 은 legendre symbol . $ 0 \ le i \ l lt p $ , $ x_i $ " $ x_0 $ $ i $ ", 즉 $$ x_i={0 \ le k \ lt p : \ left (\ frac {ki} p \ right)= 1 \}. $$ 그런 다음 $ | x_i |= frac {p -1} 2 $ $ i $ 및 $ | x_i \ triangle x_j | \ ge \ frac {P-1} 2 $ $ i \ NOT= J $ .

증명 : $ \ left (\ frac {\ cdot} p \ right) $ 은 $-1 $ , $ 0 $ 또는 $ 1 $ $ 1+ \ left (\ frac {\ cdot} p \ right) \ ge0 $ . 그 후, $$ \ begin {정렬} & \ quad \ quad \ sum_ {0 \ le k \ lt p} \ left (1+ \ left (\ frac {ki} p \ right) \ 오른쪽) \ left (1+ \ left (\ frac {kj} p) \맞아 맞아)\\ & \ GE \ SUM_ {0 \ LE K \ LT P \, \ LARD \, \ 왼쪽 (\ FRAC {ki} p \ right)= 1 \, \ land \, \ left (\ frac {kj} p \ right )= 1} \ left (1+ \ left (\ frac {ki} p \ left) \ 오른쪽) \ left (1+ \ left (\ frac {kj} p \ right) \ right) \\ &=sum_ {0 \ le k \ lt p \, \ land \, \ left (\ frac {ki} p \ right)= 1 \, \ land \, \ left (\ frac {kj} p \ right)= 1} 4 \\ &= 4 \, | x_i \ cap x_j | \ end {정렬} $$ 다른 한편으로는, 우리는 가지고 있습니다 $$ \ begin {정렬} & \ quad \ quad \ sum_ {0 \ le k \ lt p} \ left (1+ \ left (\ frac {ki} p \ right) \ 오른쪽) \ left (1+ \ left (\ frac {kj} p) \맞아 맞아)\\ &=sum_ {0 \ le k \ lt p} \ left (1 + \ 왼쪽 (\ frac {ki} p \ right) + 왼쪽 (\ frac {kj} p \ right) + 왼쪽 (\ frac { ki} p \ right) \ left (\ frac {kj} p \ right) \ 오른쪽) \\ &= P + 0 + 0 + \ SUM_ {0 \ LE K \ LT p} \ FRAC {k ^ 2- (i + j) k + ij} p \\ &= P-1. \ end {정렬} $$ $ p \ nmid (- (i + j)) ^ 2-4ij= (ij) ^ 2 $ 위의 마지막 평등은 $ p \ nmid b ^ 2-4ac $ , 이론 1 종이 legendre symbol 와 관련된 2 차 표현식이있는 특정 합계에 있습니다. 그래서 우리는 $ | x_i \ cap x_j | \ le \ frac {p-1} 4. $

$ | x_i |= | x_j |=frac {p-1} 2 $ , $ \ | x_i \ triangle x_j |= | x_i | + | x_j | -2 | x_i \ cap x_j | \ ge \ frac {p-1} 2. $ $ \ quad \ 체크 표시 $

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구체적인 예를 인정한 사람들을 위해 $ n= 17 $ 에서 세트가 있습니다. 여기서 $ | x_i \ 삼각형 X_J | \ GE 8 $ . $$ \ begin {정렬} x_ {0} &={\ phantom {1} 1, \ phantom {1} 2, \ phantom {1} 4, \ phantom {1} 8, \ phantom {1} 9, 13, 15, 16 \} \\ X_ {1} &={\ phantom {1} 2, \ phantom {1} 3, \ phantom {1} 5, \ phantom {1} 9, 10, 14, 16, \ phantom {1} 0 \} \\ x_ {2} &={\ phantom {1} 3, \ phantom {1} 4, \ phantom {1} 6, 10, 11, 15, \ phantom {1} 0, \ phantom {1} 1 \} \\ x_ {3} & \ {\ phantom {1} 4, \ phantom {1} 5, \ phantom {1} 7, 11, 12, 16, \ phant

om {1} 1, \ phantom {1} 2 \} \\ x_ {4} & \ \ {\ phantom {1} 5, \ phantom {1} 6, \ phantom {1} 8, 12, 13, \ phantom {1} 0, \ phantom {1} 2, \ phantom { 1} 3 \} \\ x_ {5} & \ \ {\ phantom {1} 6, \ phantom {1} 7, \ phantom {1} 9, 13, 14, \ phantom {1} 1, \ phantom {1} 3, \ phantom { 1} 4 \} \\ x_ {6} &={\ phantom {1} 7, \ phantom {1} 8, 10, 14, 15, \ phantom {1} 2, \ phantom {1} 4, \ phantom {1} 5 \} \\ x_ {7} & \ {\ phantom {1} 8, \ phantom {1} 9, 11, 15, 16, \ phantom {1} 3, \ phantom {1} 5, \ phantom {1} 6 \} \\ x_ {8} & \ {\ phantom {1} 9, 10, 12, 16, \ phantom {1} 0, \ phantom {1} 4, \ phantom {1} 6, \ phantom {1} 7 \} \\ X_ {9} &= {10, 11, 13, \ phantom {1} 0, \ phantom {1} 1, \ phantom {1} 5, \ phantom {1} 7, \ phantom {1} 8 \} \\ X_ {10} & \ {11, 12, 14, \ phantom {1} 1, \ phantom {1} 2, \ phantom {1} 6, \ phantom {1} 8, \ phantom {1} 9 \} \\ x_ {11} &= {12, 13, 15, \ phantom {1} 2, \ phantom {1} 3, \ phantom {1} 7, \ phantom {1} 9, 10 \} \\ X_ {12} & \ {13, 14, 16, \ phantom {1} 3, \ phantom {1} 4, \ phantom {1} 8, 10, 11 \} \\ x_ {13} & \ {14, 15, \ phantom {1} 0, \ phantom {1} 4, \ phantom {1} 5, \ phantom {1} 9, 11, 12 \} \\ X_ {14} & \ {15, 16, \ phantom {1} 1, \ phantom {1} 5, \ phantom {1} 6, 10, 12, 13 \} \\ X_ {15} &= {16, \ phantom {1} 0, \ phantom {1} 2, \ phantom {1} 6, \ phantom {1} 7, 11, 13, 14 \} \\ x_ {16} & \ \ {\ phantom {1} 0, \ phantom {1} 1, \ phantom {1} 3, \ phantom {1} 7, \ phantom {1} 8, 12, 14, 15 \} \\ \ end {정렬} $$

Answer 2

당신은 할 수 없습니다. $ m= k ^ 2 $ 을 사용하여 $ k $ 에 대해 다음 세트를 고려하십시오. (둘 다 $ 2 $ ) :

• $ \ {1..k \} $ , $ \ {k + 1..2k \} $ , $ \ ldots $ , $ \ {m-k + 1..m \} $
• $ \ {1, 3, 5, \ ldots, 2k-1 \} $ , $ \ 2 , 4, 6, \ ldots, 2k \} $ , $ \ {2k + 1, 2k + 3, \ ldots, 4k - 1 \} $ , $ \ {2k + 2, 2k + 4, \ ldots, 4k \} $ , $ \ ldots $ < / span>
• $ \ {1, 5, 9, \ ldots, 4k - 3 \} $ , $ \ 2 , 6, 10, \ ldots, 4k-2 \} $ $ \ ldots $

각 대칭 차는 적어도 $ \ frac k2 $ 입니다. 각 레벨에는 $ \ fRAC MK $ 세트가 있으며 $ 1 + \ log \ FRAC MK $ 레벨이 있습니다. ...에 따라서 $ \ frac mk (1 + \ log \ frac mk) $ 세트가 있습니다. 각 세트는 대부분의 세트 수에서 카디널리티가 있어야하므로 $ K \ LE \ FRAC MK (1 + \ Log \ FRAC MK) $ 을 가져야합니다. $ m= k ^ 2 $ 을 만족시킨다.

최소 스패닝 트리의 크기는 적어도 $ \ fRAC K 2 \ CDOT \ FRAC MK (1 + \ log \ FRAC MK)=omega (m \ log m) $ .