$ \ log n + \ log \ frac {n} {2} + \ log \ frac {n} {4} + \ frac {n} {8} + \ cdots + \ log \ frac {n} {n} {n}}=theta（\ log ^ 2 n）$？

Question

$$ \ log n + \ log \ frac {n} {2} + \ log \ frac {n} {4} + \ log \ frac {n} {8}+ \ cdots + \ log \ frac {n} {n}=theta（\ log ^ 2n）。$$

Logrithmsの合計は、製品の対数です。 $ n \ cdot \ frac {n} {2} \ cdot \ frac {n} {4} \ cdot \ frac {} {8} \ CDots \ frac {n} {n} $ 。これは $ n ^ {\ log n} $ を分割したものです。製品が $ n ^ {\ log n} $ になる場合は、 $ \ logから完璧な送信を行います。（n ^ {\ log n}）=log（n）\ cdot \ log（n）=log ^ 2 n $ 。しかし、除数は $ \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {1} {1}{16} \ cdots \ frac {1} {n} $ $ それはそれを得ません。

Answer 1

$ n $ のout $ 2 $ の電源です。 $$ \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} \ log \ frac {n} {2 ^ i}= \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} \ left（\ log n - i \ right）= \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} i= \ frac {（\ log n）（\ log n + 1）} {2}=theta（\ log ^ 2 n）。 $$