Infinityでの境界との明確な積分を計算するためのアルゴリズム

Question

1つ（または両方）が（ - ）Infinityで終了する積分があるとします。 Afaict、私はこの問題を分析的に解決することはできません、それはブルートフォース（例：左リーマンの合計を使用）を取ります。適切な下位区分を設定するようにアルゴリズムを一般化するのに苦労しています。私はあまりにも多くの作業をして、些細なことを計算するか、ほぼ十分にして、巨大なエイリアシングエラーを持っています。

どんな言語でも回答するのはクールですが、Google-Fuが優れている人はこれをすばやく終わらせることができます。 :)

私が探しているのは、英国の海岸線を測定しようとするのと同じくらい不可能ですか？

Answer 1

進むにはいくつかの方法がありますが、そのほとんどはあなたのインテグランドの行動を理解しようとすることを伴います。多くの場合、有限Z（無限）を持つ変換x - > z（x）があります。そのため、固定されていない積分を境界のあるものに変換できます。

また、xが +および - 無限に進むにつれて、インテグランドの「漸近」挙動を分析できることがよくあります。したがって、x> x +とx <x-からの寄与を少なくともほぼ解決できます。 x-とx+の間に明確な積分を実行します。

数値統合に関する良い本がたくさんあります。物理科学でよく使われているものは 数値レシピ. 。 （ただし、コードを直接使用することはめったにありません！）

Answer 2

変数の変更を使用します。たとえば、x-> 1/xとf（x）dxのaからbまでの積分は、（1/x^2）f（1/xの1/bから1/aの積分に等しいことに注意してください。 ）DX。もう1つの便利なものは、可変x-> -log（x）の変更です。ここで、aからf（x）dxの積分がf（-log（-log）からe^（ - a）までの積分に等しくなります（-log（） x））/x dx。

さまざまなオープンソースパッケージには、この種のことを行うためのルーチンが含まれています。他の誰かが推奨する必要があります。なぜなら、数学機能のオープンソースが存在しなかったときに自分のものを書いたからです。

Cブックの数値レシピはオンラインで入手できます http://www.nrbook.com/a/bookcpdf.phpあなたはそれから一緒に何かを丸石することができるかもしれません。興味のある章は4です。アレイインデックスは0ではなく1に基づいていることに注意してください。アルゴリズムの一部が改善される可能性がありますが、ここでは入りません。

Answer 3

徹底的なソリューションを探している場合は、おそらくある種の象徴的な数学パッケージが必要です。理由：

- 不明確な積分（有限の積分だけでなく、まったく境界のないもの）のソリューションを本当に探しているなら、ルックアップテーブルやシンボリックアルゴリズムに相当するデジタルを実行する以外の方法は知りません（知るようにx^n dxの積分はx^（n+1） /（n+1）に加えて、xに依存しない任意の式です。

• 明確な積分の数値積分により、どこかで取得できます。制限の1つまたは両方が+/- Infinityである場合、おそらく「十分に無限」の有限数でこれを近似できますが、それでも、それはあなたもそれだけです。 1から1/xまで？答えは無限ですが、LN（x）と分岐します。答えを与えるのに「十分に無限」である価値はありません。これは、象徴的な解決策に戻ります。