제품 분포 하에서 설정 분리를위한 상한

Question

통신 복잡성의 2 자의 모드 모델에서 분리 된 분리 된 문제점에 대한 앨리스는 입력 $ x $ 을 주어졌으며 밥은 입력 $ y $ , $ x $ 및 $ y $ 은 < SPAN 클래스="수학 컨테이너"> $ n $ -length 비트 스트링 (일부 배포에서 샘플링), $ [n] $ 즉, $ x_i= 1 $ 은 $ i $ - $ x $ 이 하위 집합에 있습니다. 목표는 $ x $ 및 $ y $ $ y $ 에 대답하는 것입니다. 가능한 한 적은 의사 소통을 사용하여 분리하십시오. 무작위 프로토콜에 대한 최악의 경우 최악의 경우 $ \ omega (n) $ 비트가 필요하다는 것이 알려져 있습니다.

나는 교과서의 초안을 발견했다 Anup Rao의 통신 복잡성 amir yehudayoff 운동 6.8은 예상 수학 용기 "> $ o (n ^ {2 /)의 예상 수로 해결 될 수있는 amir yehudayoff 3} \ log ^ 2 n) Alice와 Bob의 입력이 독립적으로 샘플링 된 경우 $ 비트.

다음 프로토콜을 고려하십시오. $ h (x_j) $ 과 같은 [n] $ 의 좌표 $ j \ $ h (y_j) $ 은 $ \ epsilon $ , 앨리스와 밥이 $ x_j, y_j $ . 그러한 좌표가 발견 될 때 까지이 단계를보고 반복하는 가치에 조건이 있습니다. 이 시점에서 Alice와 Bob은 Shannon의 코딩 정리를 사용하여 $ x $ , $ y $ 을 인코딩합니다. $ \ epsilon $ 을 설정하는 방법을 보여 주므로 예상되는 통신이 $ n ^ {2/3} \ log ^ 2 n $ . 힌트 : $ h (x_j) \ ge \ epsilon $ h (x_j) \ ge \ epsilon $ 은 $ pr [x_j= 1] \ GE \ OMEGA (\ 엡실론 / (\ log (1 / ε))) $

아이디어가 $ x $ 및 $ y $ 에있는 모든 인덱스를 먼저 통신하는 것입니다. 큰 엔트로피를 사용하여 나머지 지표가 작은 엔트로피가 있어야한다는 사실을 사용합니다. 그러나 프로토콜의 세부 사항과 $ x $ 및 $ y $ 이 들어오는 곳 , 나에게 분명하지 않습니다.

Answer 1

알고리즘의 첫 번째 단계에서 플레이어는 높은 엔트로피 좌표를 확대합니다. $ o (1) $ 비트를 교환하고 확률 $ \ omega (\ 엡실론 ^ 2 / \ log ^ 2 (1 / \ 엡실론)) $ (여기서는 독립성을 사용합니다). 따라서이 단계는 대부분의 $ o (\ log ^ 2 (1 / \ 엡실론) / \ 엡실론 ^ 2) $ 비트를 기대합니다. 두 번째 단계는 $ o (n \ epsilon) $ 비트를 사용합니다. 전체적으로 우리는이 많은 비트를 기대하여 사용했습니다. $$ o (\ log ^ 2 (1 / \ epsilon) / \ 엡실론 ^ 2 + epsilon n). $$ $ \ epsilon= 1 / n ^ {1/3} $ 을 선택하십시오.

독립성이 없으면 첫 번째 단계의 각 단계에서 정지 확률에 대한 제어가 없습니다. 예를 들어 $ x $ 은 무작위로 균일하게 샘플링되고 $ y $ 은 $ x $ 의 부정. 이 경우 첫 번째 단계는 결코 멈추지 않으므로 프로토콜은 항상 $ 2n $ 비트를 사용합니다.

$ o (\ sqrt {n} \ log n) $ 을 $ o (\ sqrt {n} \ log n)로 향상시킬 수 있습니다. class="수학 용기"> $ \ omega (\ sqrt {n}) $ (그 격차가 문헌에서 닫힐 수 있음). Prahladh Harsha의 강의 노트 < / a>.