Верхняя граница для установки непересекающегося в распределении продукта

Question

Для заданного рассеивания проблемы в 2-сторонней модели коммуникационной сложности, ALICE сдается входной $ x $ и Bob задается входные данные $ y $ , $ x $ и $ y $ < Spaness Class= «Математический контейнер»> $ N $ -Length Bitstrings (выборка из некоторого распределения), которые интерпретируются как подсведатели $ [n] $ , т.е. $ x_i= 1 $ означает, что $ i $ --th But of $ x $ находится в подмножестве. Цель состоит в том, чтобы Алиса и Боб ответили, представлены ли подмножество $ x $ и $ y $ несерьезно, используя как можно меньше общения. Известно, что биты $ \ Omega (n) $ нужны в худшем случае для рандомизированных протоколов.

Я наткнулся на этот проект учебника Коммуникационная сложность Anup Rao и Amir Yehudayoff , где упражнение 6.8 упоминает, что 2-контактный набор несистенность может быть решен с помощью qued empted $ O (N ^ {2 / 3} \ log ^ 2 n) $ Биты Если входы Алисы и боба выбираются независимо.

Рассмотрим следующий протокол. Если есть координата $ j \ in [n] $ такой, что $ h (x_j) $ и $ h (y_j) $ как минимум $ \ epsilon $ , затем Alice и Bob сообщает $ x_j, y_j $ . Они условиются на значениях, которые они видят и повторяют этот шаг, пока не будет найдена такая координата. На данный момент Алиса и Боб используют теорему кодирования Шеннона для кодирования $ x $ , $ y $ . Покажите, как установить $ \ EPSILON $ , чтобы ожидаемую связь можно ограничить $ n ^ {2/3} \ log ^ 2 n $ . Подсказка: используйте тот факт, что $ h (x_j) \ ge \ epsilon $ подразумевает, что $ pr [x_j= 1] \ GE \ Omega (\ epsilon / (\ log (1 / ε))) $ .

Я полагаю, что идея состоит в том, чтобы сначала сообщить все индексы, где $ x $ и $ y $ есть Большая энтропия, а затем используйте тот факт, что оставшиеся индексы должны иметь небольшую энтропию. Однако детали протокола и где независимость $ x $ и $ y $ , не ясно для меня.

Answer 1

Во время первой фазы алгоритма игроки увеличивают высокую координату энтропии. Они обмениваются $ O (1) $ BITS, и останавливаются на каждом шаге с вероятностью $ \ Omega (\ Epsilon ^ 2 / \ log ^ 2 (1 / \ epsilon)) $ (здесь мы используем независимость). Следовательно, эта фаза использует максимум $ O (\ log ^ 2 (1 / \ epsilon) / \ epsilon ^ 2) $ Биты в ожидании. Вторая фаза использует $ O (N \ EPSILON) $ BITS. Всего мы использовали это много битов в ожидании: $$ O (\ log ^ 2 (1 / \ epsilon) / \ epsilon ^ 2 + \ epsilon n). $$ Выберите $ \ epsilon= 1 / n ^ {1/3} $ для получения указанного границы.

Без независимости у нас нет контроля на вероятности остановки на каждом этапе первой фазы. Например, может быть, что $ x $ равномерно пробирается во случайном порядке, а $ y $ Отрицание $ x $ . В этом случае первый этап никогда не остановится, и поэтому протокол всегда будет использовать $ 2n $ Bits.

Кроме того, верхняя граница может быть улучшена до $ O (\ sqrt {n} \ log n) $ , который почти соответствует нижней границе $ \ Omega (\ sqrt {n}) $ (разрыв может быть закрыт в литературе). Смотрите Лекционные ноты Прахла Harsha < / a>.