Os padrões de bits definidos em um byte

Question

Joel mencionado contar o número de bits definidos em um byte como uma questão de programação em seu Guerrilla Guia para Entrevistar , e falou de uma maneira de tirar proveito de padrões que ocorrem na tabela de pesquisa. Eu escrevi um artigo sobre isso algum tempo atrás depois que eu encontrei o padrão.

Para resumir:

Number of bits set in a byte in 16x16
0   1   1   2   1   2   2   3   1   2   2   3   2   3   3   4  
1   2   2   3   2   3   3   4   2   3   3   4   3   4   4   5  
1   2   2   3   2   3   3   4   2   3   3   4   3   4   4   5  
2   3   3   4   3   4   4   5   3   4   4   5   4   5   5   6  
1   2   2   3   2   3   3   4   2   3   3   4   3   4   4   5  
2   3   3   4   3   4   4   5   3   4   4   5   4   5   5   6  
2   3   3   4   3   4   4   5   3   4   4   5   4   5   5   6  
3   4   4   5   4   5   5   6   4   5   5   6   5   6   6   7  
1   2   2   3   2   3   3   4   2   3   3   4   3   4   4   5  
2   3   3   4   3   4   4   5   3   4   4   5   4   5   5   6  
2   3   3   4   3   4   4   5   3   4   4   5   4   5   5   6  
3   4   4   5   4   5   5   6   4   5   5   6   5   6   6   7  
2   3   3   4   3   4   4   5   3   4   4   5   4   5   5   6  
3   4   4   5   4   5   5   6   4   5   5   6   5   6   6   7  
3   4   4   5   4   5   5   6   4   5   5   6   5   6   6   7  
4   5   5   6   5   6   6   7   5   6   6   7   6   7   7   8  

A primeira linha e coluna são exatamente o mesmo, e cada posição na grade pode ser calculado somando os primeiros valores na linha e coluna dessa posição. Devido a isso, você só precisa de uma tabela de pesquisa com 16 entradas para um número de 8 bits, e pode usar apenas os primeiros 16 números. Então, se você quiser contar os bits definidos no número 243, por exemplo, você tinha acabado de fazer:

a = [0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4]
x = 243 / 16 => 15 # (int)
y = 243 % 16 => 3

a[x] + a[y] => 6

# Are there six bits set in the number 243?
243 = 11110011 # yep

O próximo padrão notei depois disso foi que cada vez que você dobrar o tamanho da grade NxN, cada quadrante pode ser calculado adicionando 0, 1, 1 e 2 para cada quadrante, respectivamente, assim:

# Make a 4x4 grid on the paper, and fill in the upper left quadrant with the values of the 2x2 grid.  
# For each quadrant, add the value from that same quadrant in the 2x2 grid to the array.  

# Upper left quad add 0 to each number from 2x2  
0   1   *   *  
1   2   *   *  
*   *   *   *  
*   *   *   *  

# Upper right quad add 1 to each number from 2×2  
0   1   1   2  
1   2   2   3  
*   *   *   *  
*   *   *   *  

# Lower left quad add 1 to each number from 2×2  
0   1   1   2  
1   2   2   3  
1   2   *   *  
2   3   *   *  

# Lower right quad add 2 to each number from 2×2  
0   1   1   2  
1   2   2   3  
1   2   2   3  
2   3   3   4  

Repita esse processo mais duas vezes, e você vai ter a grade de 16x16 de cima, então eu percebi que deve haver algum tipo de quadtree algoritmo que lhe permitiria iniciar a partir da rede:

0 1
1 2

e dado um número N, gerar a tabela de consulta na mosca e descobrir o número de bits. Então, minha pergunta / desafio é, você pode descobrir um algoritmo para fazer isso?

Answer 1

Com base no código de Robert aqui , ele pode até mesmo ser feito sem a divisão ou módulo, substituindo-os por um turno e um e, assim:

a = [0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4]
x = 243 >> 4 # 15 (same as dividing by 16)
y = 243 & 0x0f # 3 ( same as modding by 16)

result = a[x] + a[y] # 6 bits set 

Ou em C:

const unsigned char oneBits[] = {0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4};

unsigned char CountOnes(unsigned char x)
{
    unsigned char results;
    results = oneBits[x&0x0f];
    results += oneBits[x>>4];
    return results
}

Para qualquer inteiro tamanho, você poderia simplesmente percorrer os bytes e fazer uma pesquisa rápida, assim:

def bits(n)
    a = [0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4]
    a[n >> 4] + a[n & 0x0f]
end

def setBits(n)
   total = 0
   while(n > 0)
       total += bits(n&0xff)
       n >>= 8
   end
   total
end

setBits(6432132132165432132132165436265465465653213213265465) # 78 bits set

Estou satisfeito com esta resposta. Eu sabia que algo mais complexo e quadtree-esque não seria eficiente, eu apenas pensei que era um experimento de pensamento decente.

Answer 2

Esta é uma pergunta boba! No primeiro exemplo onde você calculado o número de bits definidos usando uma tabela de 16 entrada em vez de 256 não é nada mágico! Tudo que você fez é contar o número de bits definidos nos quatro primeiros bits do byte (primeira mordidela) e, em seguida, na segunda mordidela, adicionando os dois juntos. x / 16 é o primeiro mordidela, x% 16 é o segundo nibble.

Se você repetir o processo, agora você tem uma tabela de pesquisa para dois bits e você apenas fazê-lo quatro vezes, uma para cada par. Em casos extremos, você pode simplesmente adicionar todos os pedaços juntos, um por um e você terá a resposta óbvia.

O ponto inteiro de uma tabela de pesquisa é evitar a adição.

Answer 3

Com licença final do post, mas eu só descobri o desafio. Minha US $ .02 (força bruta)

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, _
                          ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

    For x As Integer = 0 To 255
        Debug.WriteLine(bitsOn2(CByte(x)) & " " & Convert.ToString(x, 2).PadLeft(8, "0"c))
    Next

End Sub

Private Function bitsOn(ByVal aByte As Byte) As Integer
    Dim aBit As Byte = 1
    For z As Integer = 0 To 7
        If (aByte >> z And aBit) = aBit Then bitsOn += 1
    Next
End Function

Dim aDict As New Dictionary(Of Integer, Integer)
Private Function bitsOn2(ByVal aByte As Byte) As Integer
    If aDict.Count = 0 Then 'init dictionary
        For x As Integer = 0 To 255
            aDict.Add(x, bitsOn(CByte(x)))
        Next
    End If
    Return aDict(aByte)
End Function