Crescimento assintótico de uma função contendo uma soma

Question

Como comparar o crescimento assintótico de uma função contendo uma soma com outra função?Não tenho certeza de como eu deveria dissolver a soma.Normalmente eu apenas tomo os limis de f (x) / g (x).Se isso falhar, eu pegue os limis de f '(x) / g' (x).Mas não tenho certeza do que fazer na seguinte tarefa (para provar se a declaração marcada é verdadeira ou não):

Answer 1

há uma fórmula explícita para $ \ sum_ {i= 0} ^ n i ^ 3 $ , mas mesmo sem isso, você pode estimar $$ \ int_0 ^ n x ^ 3 \, dx \ leq \ sum_ {i= 0} ^ n i ^ 3 \ leq \ int_1 ^ {n + 1} x ^ 3 \, dx. $$ Como $ \ int x ^ 3 \, dx= x ^ 4/4 $ , isso mostra que a soma é muito próxima da $ n ^ 4/4 $ , e em particular é $ \ theta (n ^ 4) $ .

(a fórmula explícita afirma que a soma é igual a $ n ^ 2 (n + 1) ^ 2/4 $ .)