Pontos de mapeamento do Euclician 2-Space em um disco de Poincare

Question

Por alguma razão, parece que todos que escrevem páginas da web sobre discos de poincare se preocupam apenas com como representar linhas e medir distâncias.

Eu gostaria de transformar uma coleção de pontos 2D (conforme definido por x, Y coordenados no avião euclidiano) em um disco de Poincare, mas não tenho idéia de como é o algoritmo. Neste ponto, eu nem sei se é possível criar um mapeamento entre 2-space euclidiano e um disco de Poincare ...

Algum indicador?

Goodwill, David

Answer 1

Você descreve seus dados como uma coleção de pontos. Mas, a partir de seus comentários, você deseja fazer linhas no plano ainda mapearem as linhas no disco. Você parece querer preservar a "estrutura" do espaço de alguma forma, e é provavelmente por isso que você usa o termo "morph". Eu acho que você quer um mapa conforme.

Há não bijeção conforme entre o disco e o avião. Lá é tal mapeamento entre o meio plano e o disco, e preserva "linhas", mas não do tipo que você quer, infelizmente.

Você disse: "Eu nem sei se é possível criar um mapeamento" ... há vários mapeamentos para você escolher (veja o Disco unitário página para um exemplo), mas não há nenhum com todos os recursos que você parece querer.

Answer 2

Se eu entendo tudo corretamente, a resposta que você obtém no outro fórum é para o modelo Beltrami -Klein. Depois de ter isso, você pode chegar às coordenadas no disco de Poicare com

p = b / (1 + sqrt(1 - b * b))

Onde p é o vetor de coordenadas no disco da Poincare (ou seja, o que você precisa) e b é o do modelo Beltrami -Klein (ou seja, o que você recebe da outra resposta).