Алгоритм идемпотентной алгебры

Question

булева выражение алгебры может быть преобразовано в алгебру идемпотентной $$ \ bar a \ equiv 1-a, \ qquad a \ vee b \ equiv a + b -ab, \ qquad a \ quad b \ equiv a \ otimes b $$ < / span>

Где $ \ otimes $ - это продукт IDEMPotent (без полномочий). Например, $$ (a + b) \ otimes (a - b)= aab + ab - b= a - b. $$

Формула CNF

$$ \ phi= (a \ vee b) \; (b \ vee c) (b \ vee \ bar c) (\ bar b \ vee \ bar c) \; (a \ vee c) (\ bar a \ vee \ bar c) $$

может быть преобразован в то, что я бы назвал IDEMPotent Expression $$ \ phi= (a + b - ab) \ otimes (b-bc) \ otimes (a + c-2ac). $$

Это выражение расширяется, чтобы дать $ \ phi= ab - abc $ . Я хотел бы, чтобы алгоритм, который дал формулу CNF в качестве ввода, выводит термин с самой низкой однородностью. В этом примере Oracle вернется $ ab $ . (Если есть несколько терминов, все с минимальной однородностью, алгоритм может вернуть любого из них.)

Вопрос 1: Что такое сложность этой задачи? Насколько высоко в полиномиальной иерархии это?

Во-вторых, учитывая другое выражение IDEMPotent $$ \ phi= AC + AD + BC + BD-ABC-ABD-2ACD-2BCD + 2ABCD, $$ < / P >.

Я заинтересован в суммировании по поводу условий с равной однородностью. Позволяя всем переменным быть $ \ EPSILON $ Мы получаем $$ \ phi= 4 \ epsilon ^ 2 - 6 \ epsilon ^ 3 + 2 \ epsilon ^ 4. $$ Это дает однородность однородности $ [0,0,4, -6,2] $ .

Вопрос 2: Что такое сложность вычисления векторной однородности, учитывая выражение IDEMPOTENT в качестве ввода? Насколько высоко в полиномиальной иерархии это?

Answer 1

Рассмотрим следующее решение вашей первой проблемы:

Учитывая экземпляр SAT, имеет ли его многолистное представление срок у SICT, максимально $ d $ ?

Я утверждаю, что это тот случай, если экземпляр SAT имеет удовлетворяющее задание с большинством $ d $ .

Действительно, прежде всего предположим, что $ m $ - минимальный срок включения в многолинейном представлении экземпляра. Подставляя 1 для переменных в $ m $ и 0 для переменных вне $ m $ , мы получаем 1, то есть, что экземпляр удовлетворен. Это показывает, что если многолинейное представление имеет срок у SICT, максимально $ D $ , то экземпляр имеет удовлетворяющее задание с большинством $ d $ .

Теперь предположим, что все термины в многолинейном представлении имеют степень больше, чем $ d $ . Если мы заменим любое задание с большинством $ d $ , то все мономы равные 0, и поэтому назначение фальсифицирует экземпляр.

Поэтому версия решения эквивалентна Min-yourS-SAT, которая является следующей проблемой:

Учитывая экземпляр SAT, имеет ли у него удовлетворяющее задание с большинством $ d $ your?

Проблема в NP (легко подсчитать количество одних в удовлетворительном задании), и это явно NP-HARD (принять $ d= n $ ). Следовательно, проблема NP-Clace.

---

Использование NP Oracle, мы можем легко найти мономиальный с минимальной степенью, что эквивалентно, удовлетворяющее задание наименьшим. Просто замените 0 в одну из переменных и посмотрите, увеличивает ли он минимальный вес раствора. Если это так, установите эту переменную на 1, в противном случае установите его на ноль и продолжайте до следующей переменной. Это отвечает на ваш первый вопрос.