Найти союз всех минимальных порезов сети потока

Question

Я пытаюсь решить следующий вопрос:

Учитывая сеть потока $ n= (g= (v, e), c, s, t) $ . Пусть $ \ mathcal f $ Быть набором всех минимальных сокращений. Докажите, что $ \ mathcal f $ закрыт под перекрестками и профсоюзами, т.е. для каждого $ s_1, s_2 \ in \ mathcal f , S_1 \ CUP S_2 \ in \ Mathcal f $ и $ s_1 \ cap s_2 \ in \ mathcal f $ .

Эта часть я позаботился о том, просто отлично, используя теорему Min-Cut-Max.

Другая часть - это то, с которой у меня были проблемы с:

Учитывая максимальный поток $ F $ , find $ s _ {\ min}=bigcap_ {s in \ in \ \ mathcal f} s \ text {and} s _ {\ max}=bigcup_ {s \ in \ mathcal f} s $ .

Я понял, что при рассмотрении минимальной срезы $ (s, t) $ и с учетом остаточного графа (которые могут быть построены из данного максимального потока), Каждая вершина, которая доступна от $ S $ (исходный узел), должен быть в $ S $ , так что я смог воспользоваться этим, чтобы придумать алгоритм для поиска $ S _ {\ min} $ .

Но как для поиска алгоритма для $ s _ {\ max} $ , я вроде не устраивающих возмещение палец на свойство минимального края, Т.е. то, что нужно, чтобы быть нарезанным краем (или для вершины, чтобы быть в $ S $ ) некоторых мин.

Я не ищу полный ответ, а скорее подсказку. Любая помощь ценится.

Answer 1

ПРИМЕЧАНИЕ $ S _ {\ max}= v- \ bigcap_ {s in \ in \ mathcal {f}} (v - s) $ .И $ \ bigcap_ {s in \ mathcal {f}} (vs) $ - это набор всех вершин, из которых $ t $ достижимы в остаточной графике.

Причина, по которой $ \ bigcap_ {s in \ mathcal {f}} (vs) $ - это набор всех вершин, из которых $ t $ Доступно в остаточный график такой же, как причина, по которой $ S _ {\ min} $ - это наборВсе вершины, которые доставляются от $ S $ .Вы можете доказать это, используя дополнительные условия вязкости.