Ошибка более низкая для алгоритма для крышки вершины

Question

У меня есть следующий рандомизированный алгоритм задачи вершины. Пусть $ b_0 $ Быть набором вывода:

.
• Исправить на некотором порядке $ e_1, e_2,. Отказ Отказ , e_m $ по всем краям в краевом наборе e of g и установите $ b_0=emptyset $ .
• Добавить в $ b_0 $ Все изолированные вершины, то есть те без каких-либо падающих ребер.
• для каждого края $ e $ в $ e_1, e_2,. Отказ Отказ , e_m $
  .
  • Если оба конечных точка $ e $ не содержатся в $ b_0 $ , то
  • Переверните честную монету, решая, какие конечные точки выбрать, и добавьте эту конечную точку на $ b_0 $ .

Как я могу доказать, что для каждой постоянной $ C \ Geq 1 $ алгоритм может создать $ b_0 $ с $ | b_0 |. \ ge c | opt | $ ?

Answer 1

Исправьте звездный график $ C + 1 $ вершины. Звездный график представляет собой вершину, соединенную со всеми другими вершинами на графике (универсальная вершина, называемая центром), и все другие вершины попарны не соседний. Вот визуальный пример. $ C $ - это центр звезды.

Теперь оптимальное решение состоит в том, чтобы упаковать центр звезды. Размер этого решения равен 1. Для каждого края предположим, что наш алгоритм упаковывает другой конец края (не универсальная вершина), то нам нужно упаковать все вершины графа, кроме центра и, следовательно, мы Необходимо упаковать $ C $ Разные вершины. Всего мы получаем $ | B_0 |= C | opt | $ Для любого произвольного, но фиксированное значение $ c $ .

---

<Сильные> Примечание Простая модификация алгоритма дает алгоритм марндемированного приближения с размером ответа в два раза больше, чем оптимальный. Это происходит следующее: если оба конечных точка края не в $ b_0 $ , затем добавьте как конечных точек на $ b_0 $ и итерации.

Причина, по которой эти работы просты. Края, которые получают свои конечные точки добавлены для максимального соответствия и, следовательно, мы добавляем вдвое больше вершин в максимальном соответствии с крышкой. Обратите внимание, что размер совпадения в графе представляет собой нижнюю границу по размеру минимальной крышки вершины и, следовательно, мы добавляем максимально вдвое больше вершины вершины как размер минимальной крышки вершины.