Игра с бесконечностью — Ленивая арифметика

Question

Многие современные языки программирования позволяют нам обрабатывать потенциально бесконечные списки и выполнять над ними определенные операции.

Пример [Питон]:

EvenSquareNumbers = ( x * x for x in naturals() if x mod 2 == 0 )

Такие списки могут существовать, поскольку вычисляются только те элементы, которые действительно необходимы.(ленивая оценка)

Я просто из интереса поинтересовался, возможно ли (или даже практикуется ли в некоторых языках) распространить механизм ленивых вычислений на арифметику.

Пример:Учитывая бесконечный список четных чисел evens = [ x | x <- [1..], even x ]Мы не могли вычислить

length evens

поскольку требуемые здесь вычисления никогда не завершатся.

Но на самом деле мы могли бы определить это

length evens > 42

без необходимости оценивать все length срок.

Возможно ли это на каком-либо языке?А как насчет Хаскелла?

Редактировать:Чтобы прояснить ситуацию:Вопрос не в том, как определить, короче ли ленивый список заданного числа.Речь идет об использовании обычных встроенных функций таким образом, чтобы числовые вычисления выполнялись лениво.

sdcvvc показал решение для Haskell:

data Nat = Zero | Succ Nat deriving (Show, Eq, Ord)

toLazy :: Integer -> Nat
toLazy 0 = Zero
toLazy n = Succ (toLazy (n-1))

instance Num Nat where
   (+) (Succ x) y = Succ (x + y)
   (+) Zero y = y
   (*) Zero y = Zero
   (*) x Zero = Zero
   (*) (Succ x) y = y + (x * y)
   fromInteger = toLazy
   abs = id
   negate = error "Natural only"
   signum Zero = Zero
   signum (Succ x) = Succ Zero

len [] = Zero
len (_:x') = Succ $ len x'

-- Test 

len [1..] < 42 

Возможно ли это и на других языках?

Answer 1

Вы можете создавать свои собственные натуральные числа...

data Nat = Zero | Succ Nat deriving (Show, Eq, Ord)

len :: [a] -> Nat
len = foldr (const Succ) Zero

toLazy :: Int -> Nat
toLazy 0 = Zero
toLazy n = Succ (toLazy (n-1))

a = len [1..] > toLazy 42

Тогда a истинно благодаря ленивому вычислению.Крайне важно, чтобы len использовал Foldr, Foldl не работает с бесконечными списками.И вы тоже можете выполнить некоторые арифметические действия (не проверялось):

instance Num Nat where
   (+) (Succ x) y = Succ (x + y)
   (+) Zero y = y
   (*) Zero y = Zero
   (*) x Zero = Zero
   (*) (Succ x) y = y + (x * y)
   fromInteger = toLazy
   abs = id
   negate = error "Natural only"
   signum Zero = Zero
   signum (Succ x) = Succ Zero

Например, 2*бесконечность + 3 — бесконечность:

let infinity = Succ infinity

*Main> 2 * infinity + 3
(Succ (Succ (Succ ^cCc (Succ (Succ (SuccInterrupted.

Второе решение

Другое решение — использовать списки () в качестве ленивых натуральных чисел.

len = map (const ())
toLazy n = replicate n () 
a = len [1..] > toLazy 42

Проверять Хакадж.

Редактировать:Добавлен экземпляр Num.

Редактировать2:

Перевод второго решения на Python:

import itertools

def length(x):
    return itertools.imap(lambda: (), x) 

def to_lazy(n):
    return itertools.chain([()] * n)

Для сложения чисел используйте itertools.chain, для умножения — itertools.product.Это не так красиво, как в Haskell, но работает.

В любом другом строгом языке с замыканиями вы можете имитировать ленивость, используя тип () -> a вместо a.Используя это, можно перевести первое решение с Haskell на другие языки.Однако это быстро станет нечитаемым.

Смотрите также хорошая статья об однострочниках Python.

Answer 2

Если бы не лень, думаю, в F# это сработало бы:

type Nat = Zero | Succ of Nat

let rec toLazy x =
    if x = 0 then Zero
    else Succ(toLazy(x-1))

type Nat with
    static member (+)(x:Nat, y:Nat) =
        match x with
        | Succ(a) -> Succ(a+y)
        | Zero -> y
    static member (*)(x:Nat, y:Nat) =
        match x,y with
        | _, Zero -> Zero
        | Zero, _ -> Zero
        | Succ(a), b -> b + a*b

module NumericLiteralQ =
    let FromZero()          =  toLazy 0
    let FromOne()           =  toLazy 1
    let FromInt32(x:int)    =  toLazy x

let rec len = function
    | [] -> 0Q
    | _::t -> 1Q + len t

printfn "%A" (len [1..42] < 100Q)
printfn "%A" (len [while true do yield 1] < 100Q)

Но поскольку нам нужно быть ленивыми, это расширяется до этого:

let eqLazy<'T> (x:Lazy<'T>) (y:Lazy<'T>) : bool =  //'
    let a = x.Force()
    let b = y.Force()
    a = b

type Nat = Zero | Succ of LazyNat
and [<StructuralComparison(false); StructuralEqualityAttribute(false)>]
    LazyNat = LN of Lazy<Nat> with
        override this.GetHashCode() = 0
        override this.Equals(o) =
            match o with
            | :? LazyNat as other -> 
                let (LN(a)) = this
                let (LN(b)) = other
                eqLazy a b
            | _ -> false
        interface System.IComparable with
            member this.CompareTo(o) =
                match o with
                | :? LazyNat as other ->
                    let (LN(a)) = this
                    let (LN(b)) = other
                    match a.Force(),b.Force() with
                    | Zero, Zero   -> 0
                    | Succ _, Zero -> 1
                    | Zero, Succ _ -> -1
                    | Succ(a), Succ(b) -> compare a b
                | _ -> failwith "bad"

let (|Force|) (ln : LazyNat) =
    match ln with LN(x) -> x.Force()

let rec toLazyNat x =
    if x = 0 then LN(lazy Zero)
    else LN(lazy Succ(toLazyNat(x-1)))

type LazyNat with
    static member (+)(((Force x) as lx), ((Force y) as ly)) =
        match x with
        | Succ(a) -> LN(lazy Succ(a+ly))
        | Zero -> lx

module NumericLiteralQ =
    let FromZero()          =  toLazyNat 0
    let FromOne()           =  toLazyNat 1
    let FromInt32(x:int)    =  toLazyNat x

let rec len = function
    | LazyList.Nil -> 0Q
    | LazyList.Cons(_,t) -> LN(lazy Succ(len t))

let shortList = LazyList.of_list [1..42]
let infiniteList = LazyList.of_seq (seq {while true do yield 1})
printfn "%A" (len shortList < 100Q)      // true
printfn "%A" (len infiniteList < 100Q)   // false

Это демонстрирует, почему люди пишут подобные вещи только на Haskell.

Answer 3

Вероятно, вы сможете добиться желаемого, попытавшись получить из четов более 42 элементов.

Answer 4

Не уверен, что понимаю ваш вопрос, но давайте попробуем.Возможно, вы ищете потоки.Я говорю только на Эрланге, из языковой семьи FP, так что...

esn_stream() ->
  fun() -> esn_stream(1) end.

esn_stream(N) ->
  {N*N, fun() -> esn_stream(N+2) end}.

Вызов потока всегда возвращает следующий элемент, и вам следует вызвать функцию fun, чтобы получить следующий элемент.Таким образом вы достигаете ленивой оценки.

Затем вы можете определить функцию is_stream_longer_than как:

is_stream_longer_than(end_of_stream, 0) ->
  false;
is_stream_longer_than(_, 0) ->
  true;
is_stream_longer_than(Stream, N) ->
  {_, NextStream} = Stream(),
  is_stream_longer_than(NextStream, N-1).

Результат:

1> e:is_stream_longer_than(e:esn_stream(), 42).
true

2> S0 = e:esn_stream().
#Fun<e.0.6417874>

3> {E1, S1} = S0().
{1,#Fun<e.1.62636971>}
4> {E2, S2} = S1().
{9,#Fun<e.1.62636971>}
5> {E3, S3} = S2().
{25,#Fun<e.1.62636971>}