NPC проблема минимальная сумма окраски вершин

Question

для графа G и юридической вершины ψ: V (G) → N g,

Пусть σψ (g) - сумма ψ (v),

и установить σ (g):= min σψ (g),

Где минимальные диапазоны на всех действительных окрасках вершины G.

Докажете, что {(g, k): σ (g) ≤ k} ∈ NPC.

Я подумал о сокращении с суммы подмножества, но моя проблема с мин, а не с суммой, я не понимаю, как сделать снижение, чтобы проверить минимум. Я получил подсказку, чтобы сделать сокращение от 3-NAE, но я не понимаю, как. будет признателен за помощь.Даже какой-то источник я могу прочитать об этой проблеме, если вы знаете о чем-то.

Answer 1

Мы будем уменьшаться с 3Col, что является следующей проблемой: Учитывая график, это 3-окрасен?

Учитывая график $ g= (v, e) $ , мы строим новый график $ G '$ < / span> на $ v \ times \ {1,2,3 \} $ , ключевые края $$ \ {((i, a), (j, a)) \ mid (i, j) \ · \ \ \ in [3] \} \ cub \ {(((i, a), (i, b) ) \ mid i \ in v, 1 \ leq a На словах, мы берем три копии $ g $ и подключите все копии того же вершины.

Если $ g $ 3-красный, то $ G '$ может быть 3-х цветной: Учитывая трехцветный $ \ CHI $ OF $ v $ , цвет $ (i, a) $ с цветом $ \ chi (i) + a \ bmod 3 $ . Сумма цветов составляет $ 6 | V | $ .

И наоборот, предположим, что $ g '$ имеет окраску $ \ Chi' $ , чья сумма На большинстве 6 | V | $ . Обратите внимание, что три копии каждой вершины $ (i, 1), (i, 2), (i, 3) $ должны быть присвоены различные цвета, которые сумма по крайней мере, 6 $ . Следовательно, $ \ sigma \ chi '\ geq 6 | v | $ для Любой Окраска $ \ CHI '$ и $ \ sigma \ chi'= 6 | v | $ iff $ \ chi ' $ - это 3-окраска. Учитывая одну из копий $ g $ , мы видим, что $ G $ 3-кратным. < / P >.