Почему $ \ log n + \ log \ frac {n} {2} + \ log \ frac {n} {4} + \ log \ frac {n} {8} + \ cdot + \ log \ frac {n} {n}=Theta (\ log ^ 2 n) $?

Question

$$ \ log n + \ log \ frac {n} {2} + \ log \ frac {n} {4} + \ log} {4} + \ log \ frac {n} {8}+ \ cdots + \ log \ frac {n} {n}=theta (\ log ^ 2n). $$

Сумма логарифмов - это логарифм продукта $ n \ cdot \ frac {n} {2} \ cdot \ frac {n} {4} \ cdot \ frac {n} {8} \ cdots \ frac {n} {n} $ .Это равно $ n ^ {\ log n} $ разделен на что?Если продукт будет просто $ n ^ {\ log n} $ , то это сделает идеальный sende, поскольку $ \ log(N ^ {\ log n})=log (n) \ cdot \ log (n)=log ^ 2 n $ .Но дивизор равен $ \ FRAC {1} {2} \ cdot \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {8} \ cdot \ frac {1}{16} \ CDOTS \ frac {1} {n} $ Так что я не понимаю.

Answer 1

Предполагая, что $ n $ - это мощность $ 2 $ , у вас есть: $$ \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} \ log \ frac {n} {2 ^ i}= \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} \ left (\ log n - i \ vant)= \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} i= \ frac {(\ log n) (\ log n + 1)} {2}=theta (\ log ^ 2 n). $$