Существует ли проблема NP-HARD, для которой не существует ни одного целенаправленного алгоритма фиксированного параметра?

https://cs.stackexchange.com/questions/129801

29-09-2020
|

Вопрос

Есть ли проблема NP-трудной проблемы, для которой мы можем добавить параметр ^{1 для создания параметризованной задачи 2 , для которой не существует алгоритм FPT? .}

Добавление параметра нужна, потому что проблема с трудом NP - это нормально просто вопрос с ответом Да или Нет, если вы хотите ограничить некоторый параметр, необходимый для указания того, какой (даже что-то вроде $ k $ - lecoloring уже может иметь очевидное уже), так что с« уточнением какого параметра »ограничивается, один« добавляет параметр »на проблему. Более подробное описание включено в ответ дискретной ящерицей.
Я думаю, что естественные попытаются исключить «тривиальные» параметризации, когда я обсуждаю в этом вопросе в этом вопросе. Опять более подробное описание включено в ответ дискретной ящерицей.

Сомнение

Это может быть тривиальный вопрос, поскольку, возможно, можно всегда «начать» всю проблему в $ f (K_1, K_2, .., k_m) $ Часть $ f (k_1, k_2, .., k_m) n ^ c $ алгоритм В то время как установка $ n= C '$ где $ C' $ представляет собой произвольную постоянную. Но, возможно, точное определение FPT предотвращает такое (Ab) использование концепции FPT.

На основании комментария Plop там действительно существует тривиальный способ параметризации "любой" (предполагаю, что любая правильно поставленная задача) проблема, такая, что его параметризация является FPT. Эти параметризации используют языки, которые я предполагаю, что описано здесь . Такой «тривиальный» (в свете вопроса, не в свете сложности) параметризация, предназначена для игнорирования. Таким образом, в «словах» дискретной ящерицы: нетривиальный диапазон параметров (а) предназначен (есть), предназначенный.

Решение

Вы должны быть немного осторожны с вашим вопросом здесь. Обратите внимание, что проблема NP-труда - это проблема принятия решений, в то время как алгоритмы FPT решают параметризованные решения или проблемы поиска. Таким образом, вопрос немного плохо сформирован. Тем не менее, я думаю, что вопрос, который вы, вероятно, намереваетесь спросить, это:

Есть ли проблема NP-трудной проблемы, для которой мы можем добавить параметр ^{1 для создания параметризованной задачи 2 , для которой не существует алгоритм FPT? .}

, к которому ответ (безоговорочно!) да .

Прежде всего, обратите внимание, что FPT, класс проблем, которые разрешимы через фиксированный параметр, продвигаемый алгоритм, представляют собой надлежащее подмножество XP, класс «многочренных» насекающихся «многочлены», которые могут быть решены полиномиальными Algorithmtime, если параметр исправлен. Другими словами: $ \ mathrm {fpt} \ subsetneq \ mathrm {xp} $ . (Я должен признаться, что я не могу обеспечить доказательство «стандартной диагонализации», которую мои исходные предложения как единственное оправдание. Возможно, теоретик сложности может помочь мне здесь)
Следующее, обратите внимание, что, поскольку, по меньшей мере, одна проблема в XP не может быть решена с помощью FPT-алгоритма, любой XP-жесткий (в смысле проблемы FPT-Reeductions) не может быть решен с помощью FPT-алгоритма.

В главе «Доказанная ненадействием: класс XP» в Downey и Fullows ' Основы параметризованной сложности , они завершают аргумент, показывая, что то, что они называют PEUBBLE. Strong> HP-Hard «Reinterpreting» проблема, которая известна, как минимум, по крайней мере, Pspace-Hard (после «удаления параметра»), так безусловно, NP-HARD. Посмотрите, что книга глава для более подробной информации.

Позвольте мне добавить, что этот результат был очень удивлен для меня, потому что для большинства проблем Partive мы требуем сортов гипотезов ( $ P \ NEQ NP $ , ETH, SETH, 3-SUM и т. Д.), Но этот результат является фактическим фактом, который не зависит от любой гипотезы.

_{1: чтобы уточнить, путем «добавления параметра», я имею в виду, учитывая проблему NP-HARD $ l \ subsEtq \ sigma ^ * $ , Определите параметризованную проблему $ l '\ subsEtq \ sigma ^ * \ times \ mathbb {n} $ как $ l':={\ langle x, k \ rangle \ mid f (x)= k \} $ Для некоторой функции $ f: \ sigma ^ * \ proigharrow \ mathbb { N} $ . Это отражает интуитивное представление о том, что дополнительный параметр измеряет свойство ввода.

2: Определение в 1 по-прежнему позволяет всевозможные странные параметризации с такими функциями, как $ f (x) \ equiv 1 $ . В идеале нам потребуется $ f $ для измерения чего-то значимого в отношении экземпляра, но это, кажется, сложно формализовать. Я не мог подумать о какой-либо другой формализации, которая удаляет все «неестественные» параметризации. Итак, я вместо этого скопирую неформальное представление о «естественных параметризованных проблемах» от книги Downey и Fullows.}

Другие советы

Я бы сказал, да, но вам нужно принять условие, которое p $ \ Neq $ np. Возьмите $ K $ -COLORING, где мы хотим определить, может ли график быть окрашенным с помощью $ K $ Цвета такие, что любые две подключенные вершины не имеют того же цвета. Очевидно, что мы можем уменьшить 3-окрашившуюся до $ k $ - lecoloring.

Предположим, $ k $ - lecoloring находится в FPT, то существует алгоритм, который решает эту проблему в $ f ( k) \ cdot n ^ {o (1)} $ . Если мы устанавливаем $ k= 3 $ , то мы получаем алгоритм полиномиального времени, и, следовательно, 3-очатку можно решить в многочленом времени, если только P $ \ neq $ np. Очевидно, если P $ \ neq $ np, то нет алгоритма FPT для $ k $ -coloring ,

Если вы ищете что-то более строго в том смысле, что это абсолютно не может существовать, то я не уверен, была ли была найдена такая проблема.

Возможно, другой вариант, значительно слабее, чем решение STANJA, и решение дискретных ящец, предполагает гипотезу экспоненциального времени (ETH). ETH предполагает, что $ FPT \ Neq w [1] $ (или просто предположить fpt $ \ neq $ w [1] напрямую).

Так что с FPT $ \ Neq $ w [1] Предполагается отсутствует (нетривиальная) параметризация $ KD $ $ of w [1] - проблема - это FPT. Пример AW [1] жесткая проблема, которая является NP-HARD * - $ K-КЛИКЕ $ , так что существует AW [1] - проблема, которая является NP - Проблема. Поскольку (нетривиальная) параметризация $ kd $ w [1] -Hard проблем не (в) FPT с предположением FPT $ \ Neq $ w [1], это означает, что любая (нетривиальная) параметризация $ KD $ of np-трудности $ K-клика $ не FPT. Это означает, что если FPT $ \ neq $ w [1], существует проблема NP-труда, которая не является FPT.

Решение проблемы ( $ K $ ) - клика NP-COTLY , следовательно, это также NP-Hard, поскольку изображение ниже показывает:

Отказ от ответственности

Я не придумал этот аргумент, в основном это комментарий дискретной ящерицы, и он почти хотел ответить на вопрос: «Есть ли $ a $ существует ? " с участием: «Я предполагаю, что $ B $ существует, о, о, о, о, о, о, о, о, о, о, о, ой, как это происходит $ a $ , который находится в наборе $ b $ , и поскольку я предполагал $ b $ существует, тогда также существует <класс Span= «Математический контейнер»> $ a $ , так что да, существует $ a $ . (Как также объясняется дискретной ящером в комментариях)

Лицензировано под: CC-BY-SA с атрибуция

Не связан с cs.stackexchange