Быстрый алгоритм для повторного расчета процентиля?

Question

В алгоритме я должен рассчитать 75-й процентиль данных набора данных, когда я добавляю значение. Прямо сейчас я делаю это:

1. Получить значение x
2. Вставлять x в уже отсортированном массиве сзади
3. обмен x вниз, пока массив не будет отсортирован
4. Прочитайте элемент в положении array[array.size * 3/4]

Точка 3 - O (n), а остальное o (1), но это все еще довольно медленно, особенно если массив становится больше. Есть ли способ оптимизировать это?

ОБНОВИТЬ

Спасибо Никиту! Поскольку я использую C ++, это решение простое для реализации. Вот код:

template<class T>
class IterativePercentile {
public:
  /// Percentile has to be in range [0, 1(
  IterativePercentile(double percentile)
    : _percentile(percentile)
  { }

  // Adds a number in O(log(n))
  void add(const T& x) {
    if (_lower.empty() || x <= _lower.front()) {
      _lower.push_back(x);
      std::push_heap(_lower.begin(), _lower.end(), std::less<T>());
    } else {
      _upper.push_back(x);
      std::push_heap(_upper.begin(), _upper.end(), std::greater<T>());
    }

    unsigned size_lower = (unsigned)((_lower.size() + _upper.size()) * _percentile) + 1;
    if (_lower.size() > size_lower) {
      // lower to upper
      std::pop_heap(_lower.begin(), _lower.end(), std::less<T>());
      _upper.push_back(_lower.back());
      std::push_heap(_upper.begin(), _upper.end(), std::greater<T>());
      _lower.pop_back();
    } else if (_lower.size() < size_lower) {
      // upper to lower
      std::pop_heap(_upper.begin(), _upper.end(), std::greater<T>());
      _lower.push_back(_upper.back());
      std::push_heap(_lower.begin(), _lower.end(), std::less<T>());
      _upper.pop_back();
    }            
  }

  /// Access the percentile in O(1)
  const T& get() const {
    return _lower.front();
  }

  void clear() {
    _lower.clear();
    _upper.clear();
  }

private:
  double _percentile;
  std::vector<T> _lower;
  std::vector<T> _upper;
};

Answer 1

Вы можете сделать это с двумя куча. Отказ Не уверен, есть ли менее «надуманный» решение, но это обеспечивает O(logn) Сложность и куча также включены в стандартные библиотеки большинства языков программирования.

Первая куча (куча а) содержит самые маленькие 75% элементов, другая куча (куча b) - остальные (крупные 25%). Первый имеет самый большой элемент на вершине, второй - самый маленький.

1. Добавление элемента.

Посмотрите, если новый элемент x это <= max(A). Отказ Если это так, добавьте его в кучу A, в противном случае - до куча B.
Теперь, если мы добавили x Куча а и стало слишком большим (удерживает более 75% элементов), нам нужно удалить самый большой элемент из A (O (logn)) и добавьте его в куча b (также o (logn)).
Похоже, если куча b стала слишком большой.

2. Найти "0,75 медиана"

Просто возьмите самый большой элемент из (или наименьшего из б). Требуется O (logn) или o (1) время, в зависимости от реализации кучи.

редактировать
Так как Дельфин Отмечено, нам нужно точно указать, насколько большая каждая куча должна быть для каждого N (если мы хотим точный ответ). Например, если size(A) = floor(n * 0.75) а также size(B) это остальное, то для каждого n > 0, array[array.size * 3/4] = min(B).

Answer 2

Простой Заказать статистику дерева Достаточно для этого.

Сбалансированная версия этого дерева поддерживает o (logn) Время вставки / удаления и доступа по рангу. Таким образом, вы не только получаете 75% процентилей, но и на 66% или 50% или что вам нужно без необходимости менять свой код.

Если вы часто обратитесь к 75% процентиляю, но только вставляете реже, вы всегда можете кэшировать 75% процентильного элемента во время операции вставки / удаления.

Большинство стандартных реализаций (например, Java's Treemap) являются статистическими деревьями заказа.

Answer 3

Вы можете использовать двоичный поиск, чтобы найти правильную позицию в O (log n). Тем не менее, смещение массива вверх по-прежнему O (n).

Answer 4

Вот решение JavaScript. Скопируйте его в консоль браузера, и она работает. $scores содержит список оценок и, $percentileдает n-th percentile списка. Таким образом, 75-й процентиль составляет 76,8 и 99 процентилей 87,9.

function get_percentile($percentile, $array) {
    $array = $array.sort();
    $index = ($percentile/100) * $array.length;
    if (Math.floor($index) === $index) {
         $result = ($array[$index-1] + $array[$index])/2;
    }
    else {
        $result = $array[Math.floor($index)];
    }
    return $result;
}

$scores = [22.3, 32.4, 12.1, 54.6, 76.8, 87.3, 54.6, 45.5, 87.9];

get_percentile(75, $scores);
get_percentile(90, $scores);

Answer 5

Если у вас есть известный набор значений, следующее будет очень быстро:

Создание большого массива целых чисел (даже байты будут работать) с количеством элементов, равных максимальному значению ваших данных. Например, если максимальное значение t составляет 100 000, создайте массив

int[] index = new int[100000]; // 400kb

Теперь итерации по всему набору ценностей, как

for each (int t : set_of_values) {
  index[t]++;
}

// You can do a try catch on ArrayOutOfBounds just in case :)

Теперь рассчитайте процентиль как

int sum = 0, i = 0;
while (sum < 0.9*set_of_values.length) {
  sum += index[i++];
}

return i;

Вы также можете рассмотреть возможность использования TREEWAP вместо массива, если значения не подтверждают эти ограничения.