التقليب & تركيبات المقابلة

Question

هذا هو فكرة جيدة لأنها غير بديهية:

تخيل جرة مليئة الكرات الثلثين التي هي من لون واحد و ثلث آخر.فرد واحد قد تعادل 5 كرات من جرة وجدت أن 4 حمراء و 1 هو الأبيض.شخص آخر قد تعادل 20 الكرات وجدت أن 12 الحمراء و 8 الأبيض.أي من اثنين من الأفراد يجب أن تشعر بمزيد من الثقة التي جرة تحتوي على ثلثي الكرات الحمراء و ثلث الكرات البيضاء بدلا من العكس بالعكس ؟ ما احتمالات أن كل فرد تعطي ؟

أنا أعرف الإجابة الصحيحة ، ولكن ربما لا يحصل على حساب الاحتمالات.يمكن لأي شخص أن أشرح ؟

Answer 1

السماح A أن الحدث 2/3 من الكرات الحمراء ثم A هو الحدث الذي 2/3 من الكرات البيضاء.السماح ب أن الحدث الأول المراقب يرى 4 كرات حمراء من أصل 5 ، والسماح ج أن الحدث الثاني المراقب يرى الكرات الحمراء 12 من أصل 20.

تطبيق بعض التوافقية البسيطة نحصل على هذا

• P(ب|A) = (5 اختيار 4)(2/3)⁴(1/3)¹ = 80/243
• P(ب|¬A) = (5 اختيار 4)(1/3)⁴(2/3)¹ = 10/243

لذلك ، من Bayes' القانون المراقب 1 لديه الثقة مستوى 80/(80+10) = 8/9 أن A هو صحيح.

الثانية المراقب:

• P(ج|A) = (20 اختيار 12)(2/3)¹²(1/3)⁸ = 125970 * 2¹²/3²⁰
• P(ج|¬A) = (20 اختيار 12)(1/3)¹²(2/3)⁸ = 125970 * 2⁸/3²⁰

لذلك مرة أخرى من Bayes' القانون المراقب 2 مستوى ثقة 2¹²/(2¹² + 2⁸) = 16/17 أن A هو صحيح.

لذلك ، المراقب اثنين وقد أعلى مستوى الثقة التي 2/3 من الكرات الحمراء.المفتاح هو أن نفهم كيف Bayes' يعمل القانون.في الواقع, كل ما يهم هو الفرق في عدد من الأحمر والأبيض كرات لوحظ.كل شيء آخر (على وجه التحديد عدد من الكرات المسحوبة) يلغي في المعادلات.

Answer 2

اليعازر Yudkowsky لديه (طويلة جدا, ولكن جيدة) شرح Bayes' نظرية.حوالي 70 ٪ إلى أسفل ، هناك فقرة بداية "أمامك هو الكتب" وهو ما يفسر جوهر هذه المشكلة.

القصه هي أن كل ما يهم هو الفرق بين كيف العديد من الأحمر والأبيض كرات تم رسمها.وهكذا ، العكس إلى الآخرين ما جرى قائلا: لا يجب أن تفعل أي العمليات الحسابية.(هذا هو جعل أي من افتراضات معقولة (أ) أن الكرات يتم رسمها مع استبدال, أو (ب) جرة لديه الكثير من الكرات.ثم عدد من الكرات لا يهم.) هنا حجة:

أذكر Bayes' نظرية:P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B).(ملاحظة على المصطلحات:P(A) هو قبل و P(A|B) ، الخلفي.ب بعض الملاحظة التي قمت بها, و المصطلحات يعكس الثقة بك قبل و بعد المراقبة الخاصة بك.) هذا شكل نظرية على ما يرام ، و @bobince و @آدم روزنفيلد بشكل صحيح تطبيقه.ولكن باستخدام هذا النموذج مباشرة يجعلك عرضة الأخطاء الحسابية و لا ينقل القلب من Bayes' نظرية.آدم المذكورة في منصبه (كما ذكرت أعلاه) أن كل ما يهم هو الفرق بين كم الأحمر والأبيض كرات تم رسمها ، لأن "كل شيء آخر يلغي في المعادلات".كيف يمكن أن نرى هذا دون القيام بأي من العمليات الحسابية ؟

يمكننا استخدام مفاهيم نسبة أرجحية و احتمال نسبة.ما هي احتمالات النسبة ؟ حسنا, بدلا من التفكير P(A) P(A), سوف نفكر بهم نسبة P(A) :P(A).إما غير قابلة للاسترداد من غيرها ، ولكن الحساب يعمل بها أجمل مع نسب الأرجحية لأننا لا يجب أن تطبيع.وعلاوة على ذلك, أنه من الأسهل أن "الحصول على" Bayes' نظرية في شكل بديل.

ماذا أعني أننا لا يجب أن تطبيع, و ما هو البديل ؟ حسنا, دعونا حساب.Bayes' نظرية تقول أن الخلفي الاحتمالات

P(A|B) :P(A|B) = (P(B|A) * P(A) / P(B)) :(P(B|A) * P(A) / P(B)).

P(B) هو عامل تطبيع لجعل الاحتمالات مبلغ واحد ؛ ومع ذلك, نحن نعمل مع نسب ، حيث 2 :1 و 4 :2 الاحتمالات هي نفس الشيء ، لذا ف(ب) يلغي.نحن مع اليسار سهلة التعبير الذي يحدث عامل:

P(A|B) :P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) :(P(B|A) * P(A)) = (P(B|A) :P(B|A)) * (P(A) :P(A))

لقد سمعت بالفعل من الفصل الثاني هناك ، إنه قبل نسبة الاحتمال.ما هو P(B|A) :P(B|A)?هذا يسمى احتمال نسبة.لذلك هدفنا النهائي التعبير

الخلفي الصعاب = احتمال نسبة * قبل الصعاب.

كيف يمكننا تطبيقه في هذه الحالة ؟ حسنا لنفترض أن لدينا بعض قبل الصعاب x :y عن محتويات الجرة مع x تمثل 2/3rds الأحمر و y تمثل 2/3rds الأبيض.لنفترض أننا رسم واحد الكرة الحمراء.احتمال نسبة P(وجه الكرة الحمراء | جرة 2/3rds الأحمر) :P(وجه الكرة الحمراء | جرة 2/3rds الأبيض) = (2/3) :(1/3) = 2 :1.لذا الخلفي احتمالات 2x :ذ ؛ كان علينا استخلاص الكرة البيضاء, الخلفي الاحتمالات سيكون x :2y مماثلة المنطق.الآن نحن نفعل هذا من أجل كل كرة في تسلسل;إذا توجه مستقلة ، ثم ضربنا كل خلاف نسب.حتى نحصل على أنه إذا كان علينا أن نبدأ مع احتمالات نسبة×:y ورسم r الكرات الحمراء و w الكرات البيضاء, نصل النهائي الصعاب نسبة

(x :y) * (2 :1)^r * (1 :2)^w = (x * 2^ص) :(y * 2^w) = (x :y) * (2^(r-w) :1).

لذلك نحن نرى أن كل ما يهم هو الفرق بين r و w.كما أنه يتيح لنا حل هذه المشكلة بسهولة.بالنسبة للسؤال الأول ("الذي يجب أن يكون أكثر ثقة؟"), قبل الصعاب لا يهم طالما أنهم لا 1 :0 أو 0 :1 و كل الناس لديهم سوابق مماثلة.في الواقع ، إذا كان مطابقا قبل كان x :y هو أول شخص الخلفي سيكون (2^3 * x) :y, في حين أن الشخص الثاني الخلفي سيكون (2^4 * x) :ذ ، لذلك الشخص الثاني هو أكثر بالتأكيد.

لنفترض علاوة على ذلك أن قبل الاحتمالات كانت موحدة ، وهذا هو 1 :1.ثم هو أول شخص الخلفي سيكون 8 :1, في حين أن الشخص الثاني سيكون 16 :1.يمكننا بسهولة ترجمة هذه الأهداف إلى احتمالات 8/9 و 16/17 ، مؤكدا على حسابات أخرى.

النقطة هنا هو أنه إذا كنت الحصول على بالخط العريض المعادلة أعلاه ، ثم هذه المشكلة من السهل حقا.ولكن كما أن الأهم من ذلك, يمكنك أن تكون متأكدا من أنك لم تفسد أي الحساب ، لأن عليك أن تفعل سوى القليل جدا.

لذلك هذا هو سوء البرمجة السؤال ، لكنه هو اختبار جيد من الغامق المعادلة.فقط من أجل الممارسة ، دعونا تطبيقه على اثنين من أكثر المشاكل:

أنا عشوائيا اختيار واحد من اثنين من القطع النقدية ، عادل عملة أو وهمية ، برأسين عملة, مع كل 50% احتمال.أنا الوجه ثلاث مرات وأنه يأتي رؤساء كل ثلاث مرات.ما هو احتمال انها حقيقية العملة ؟

قبل الاحتمالات الحقيقية :وهمية = 1 :1 ، كما جاء في المشكلة.احتمال أن كنت قد رأيت ثلاثة رؤساء مع عملة الحقيقي هو 1 / 8 ، لكنها 1 مع عملة مزيفة ، وبالتالي فإن احتمال نسبة 1 :8.لذا الخلفي احتمالات = قبل * احتمال = 1 :8.وبالتالي احتمال انها عملة الحقيقي هو 1 / 9.

هذه المشكلة يجلب أيضا تحذير هام:هناك ربما مختلفة احتمال نسبة عن كل مراقبة.وذلك لأن احتمال نسبة ب P(B|A) :P(B|A) التي ليست بالضرورة ذات صلة احتمال نسبة ب ، الذي هو P(B|A) :P(B|A).للأسف في جميع الأمثلة المذكورة أعلاه ، لقد كانت متعاكسة من بعضها البعض, ولكن هنا, إنهم لا.

بل افترض الوجه عملة مرة واحدة والحصول على ذيول.ما هو احتمال انها حقيقية العملة ؟ ومن الواضح أن واحد.كيف Bayes' نظرية الاختيار ؟ حسنا, احتمال نسبة على هذه الملاحظة هو احتمال رؤية هذه النتيجة الحقيقية عملة مقابل عملة مزيفة ، وهو 1/2 :0 = 1 :0.هذا هو رؤية واحد ذيول يقتل احتمال عملة يجري وهمية ، والذي يتحقق مع حدسنا.

هنا المشكلة التي ذكرتها من إليعازر الصفحة:

أمامك هي الكتب التي تحتوي على 1000 لعبة البوكر رقائق.لقد بدأت مع اثنين من هذه bookbags واحدة تحتوي على 700 الأحمر و 300 الأسهم القيادية الأخرى التي تحتوي على 300 الأحمر و 700 الأزرق.لقد انقلبت عادلة العملة لتحديد الكتب إلى الاستعمال حتى قبل احتمال أن الكتب أمامك هو الأحمر الكتب هو 50%.الآن أنت العينة بشكل عشوائي ، مع استبدال بعد كل رقاقة.في 12 عينات تحصل على 8 ليفربول 4 البلوز.ما هو احتمال أن هذا هو الغالب الأحمر الحقيبة ؟ (أنت لا تحتاج إلى أن تكون بالضبط - تقدير تقريبي هو جيد بما فيه الكفاية.)

قبل الاحتمالات الأحمر :الأزرق = 1 :1.احتمال نسب 7 :3 و 3 :7 ، لذلك الخلفي الاحتمالات (7 :3)^8 * (3 :7)^4 = 7^4 :3^4.في هذه المرحلة نحن فقط تقدير 7 :3 ، 2 :1 الحصول على 2^4 :1 = 16 :1.لدينا الجواب النهائي هو أكبر من ذلك ، لذا هو بالتأكيد أكبر من 95% أو نحو ذلك ؛ الجواب الصحيح هو حول 96.7%.قارن هذا مع معظم الناس الإجابات التي هي في 70--80 ٪ النطاق.

أتمنى أنك توافق على أن تصبح بسهولة حقا ، بديهية, عندما ينظر إليها في ضوء ذلك.

Answer 3

أفترض أن 'مبدئيا' احتمال فرضية واحدة مقابل الأخرى هو 1/2, و علاوة على ذلك أن كلا من الأفراد إعادة تركيب الكرة بعد إستخراجه (الاستخراج هي مستقلة عن بعضها البعض).

الجواب الصحيح هو أن الثاني المراقب يجب أن تكون أكثر ثقة من الأولى.إجابتي السابقة كان خطأ بسبب خطأ تافه في الحسابات, شكرا جزيلا و +1 إلى آدم روزنفيلد له تصحيح.

السماح 2/3R 1/3W للدلالة على الحدث "urn يحتوي على 2/3 من الكرات الحمراء و 1/3 الكرات البيضاء" ، والسماح 4R ، 1W للدلالة على الحدث "4 كرات حمراء و 1 الكرة البيضاء على المستخرج".ثم باستخدام بايس القاعدة ،

P[2/3R 1/3W | 4R ، 1W] = P[4R ، 1W | 2/3R 1/3W] P[2/3R 1/3W] / ف[4R ، 1W] = (2/3)⁴ (1/3)¹ (1/2) / ف[4R ، 1W]

الآن, منذ 2/3R 1/3W و 1/3R 2/3W مكملة من الفرضية ،

P[4R ، 1W] = P[4R ، 1W | 2/3R 1/3W] P[2/3R 1/3W] + P[4R ، 1W | 1/3R 2/3W] P[1/3R 2/3W] = (2/3)⁴ (1/3)¹ (1/2) + (1/3)⁴ (2/3)¹ (1/2)

وهكذا ،

P[2/3R 1/3W | 4R ، 1W] = (2/3)⁴ (1/3)¹ (1/2) / { (2/3)⁴ (1/3)¹ (1/2) + (1/3)⁴ (2/3)¹ (1/2) } = 2^4 / (2^4 + 2) = 8/9

نفس حساب P[2/3R 1/3W | 12R,8W] (أيوجود (2/3)¹² (1/3)⁸ بدلا من (2/3)⁴ (1/3)¹) ينتج الآن 16/17, وبالتالي ثقة من الثانية المراقب أكبر من الأولى.

Answer 4

<اقتباس فقرة>   

وP [2 / 3R 1 / 3W | 4R، 1W] = (2/3) ^ 4 * (1/3) ^ 1 * (1/2) / {(2/3) ^ 4 * (1/3) ^ 1 * (1/2) + (1/3) ^ 4 * (2/3) ^ 1 * (1/2)} = 2 ^ 4 / (2 ^ 4 + 1) = 16/17

وإيه،

= ⅔^4*⅓ / (⅔^4*⅓ + ⅓^4*⅔)
= 16/243 / (16/243 + 2/243)
= 16/18

وP (⅔R⅓W | 12R8W) لا حقا ولكن = 16/17، وبالتالي فإن 12R8W يمكن أن يكون أكثر ثقة

.

Answer 5

والكالينجيون. قد يكون أكون مخطئا تماما ولكن ليس هو بديهية أن الجواب يجب أن يكون الرجل الثاني؟

واحد يرى نسبة: 4: 1 4/5: 1/5

واثنين من يرى نسبة 3: 1 3/4: 1/4

وسؤال بسيط لذلك هو من هو أقرب إلى 2/3: 1/3؟ ومن هنا كان الجواب التوليد. اثنين.

قد تكون فعلت خطأين وأنا على الحصول على إجابة بسيطة على شيء معقد، ولكن العفو بلدي الصبر من خلال الذهاب الى شرح طويل لما اعتقدت بديهية في الواقع.