permutation & amp; entretien des combinaisons

Question

C’est un bon choix car il est très contre-intuitif:

  

Imaginez une urne remplie de boules, dont les deux tiers sont d’une couleur et le tiers, d’une autre. Un individu a tiré 5 balles de l'urne et a découvert que 4 d'entre elles étaient rouges et 1 blanche. Un autre individu a tiré 20 balles et a découvert que 12 étaient rouges et 8 blanches. Laquelle des deux personnes devrait être plus confiante que l'urne contient les deux tiers de boules rouges et un tiers de boules blanches, plutôt que l'inverse? Quelles chances chacun devrait-il donner?

Je connais la bonne réponse, mais je ne comprends peut-être pas tout à fait le calcul des probabilités. Quelqu'un peut-il expliquer?

Answer 1

Soit A l’événement indiquant que 2/3 des boules sont rouges, puis ¬ A indique que les 2/3 des boules sont blanches. Soit B l'événement par lequel le premier observateur voit 4 boules rouges sur 5, et C l'événement par lequel le deuxième observateur voit 12 boules rouges sur 20.

En appliquant une combinatoire simple, nous obtenons que

• P ( B | A ) = (5 choisissez 4) (2/3) ⁴ (1/3) ¹ = 80/243
• P ( B | ¬ A ) = (5 choisissez 4) (1/3) ⁴ (2/3) ¹ = 10/243

Par conséquent, d'après la loi de Bayes, l'observateur 1 a un niveau de confiance de 80 / (80 + 10) = 8/9 que A est vrai.

Pour le deuxième observateur:

• P ( C | A ) = (20 choisissez 12) (2/3) ¹² (1/3) ⁸ = 125970 * 2 ¹² / 3 ²⁰
• P ( C | ¬ A ) = (20 choisissez 12) (1/3) ¹² (2/3) ⁸ = 125970 * 2 ⁸ / 3 ²⁰

Encore une fois dans la loi de Bayes, l'observateur 2 a un niveau de confiance de 2 ¹² / (2 ¹² + 2 ⁸ ) = 16 / 17 que A est vrai.

Par conséquent, observateur deux a un niveau de confiance supérieur en ce que 2/3 des billes sont rouges. La clé est de comprendre comment fonctionne la loi de Bayes. En fait, tout ce qui compte est la différence dans le nombre de boules rouges et blanches observées. Tout le reste (en particulier le nombre total de balles tirées) est annulé dans les équations.

Answer 2

Eliezer Yudkowsky a une (vraiment, vraiment longue mais bonne) explication du théorème de Bayes . Environ 70% de moins, un paragraphe commençant par "Un sac à livres se trouve devant vous" ce qui explique le cœur de ce problème.

La ligne de fond est que tout ce qui compte est la différence entre le nombre de balles rouges et blanches dessinées. Ainsi, contrairement à ce que d'autres ont dit, vous n'avez pas à faire de calcul . (Cela suppose soit l’une des hypothèses raisonnables (a) que les balles soient tirées avec remplacement , soit (b) l’urne contient un lot de billes. Ensuite, le nombre de balles n'a pas d'importance.) Voici l'argument:

Rappelez le théorème de Bayes: P (A | B) = P (B | A) * P (A) / P (B). (Remarque sur la terminologie: P (A) est le précédent et P (A | B) est le postérieur . B est une observation que vous avez faite, et la terminologie reflète votre confiance avant et après votre observation.) Cette forme du théorème convient, et @bobince et @Adam Rosenfield l’ont correctement appliquée. Cependant, utiliser directement ce formulaire vous expose à des erreurs arithmétiques et ne communique pas vraiment le cœur du théorème de Bayes. Adam a mentionné dans son message (et je le mentionne ci-dessus) que tout ce qui compte est la différence entre le nombre de balles rouges et blanches qui ont été tirées, car "tout le reste s'annule dans les équations". Comment pouvons-nous voir cela sans faire de calcul?

Nous pouvons utiliser les concepts de odds ratio et de ratio de vraisemblance . Qu'est-ce qu'un rapport de cotes? Au lieu de penser à P (A) et à P (& # 160; A), nous allons penser à leur rapport P (A): P (& # 172; A). L’un ou l’autre est récupérable de l’autre, mais l’arithmétique fonctionne mieux avec les odds ratios car nous n’avons pas à normaliser. En outre, il est plus facile d’obtenir " obtenir " Le théorème de Bayes sous sa forme alternative.

Qu'est-ce que je veux dire, nous n'avons pas à normaliser, et quelle est la forme alternative? Eh bien, calculons. Le théorème de Bayes dit que les probabilités postérieures sont

  

P (A | B): P (& 172; A | B) = (P (B | A) * P (A) / P (B)): (P (B | & # 172; A ) * P (& # 172; A) / P (B)).

Le P (B) est un facteur de normalisation permettant de faire la somme des probabilités à un; Cependant, nous travaillons avec des ratios, où les probabilités 2: 1 et 4: 2 sont identiques, le P (B) s'annule. Nous nous retrouvons avec une expression facile qui arrive à prendre en compte:

  

P (A | B): P (& 172; A | B) = (P (B | A) * P (A)): (P (B | & # 172; A) * P (& # 172; A)) = (P (B | A): P (B | & # 172; A)) * (P (A): P (& # 172; A))

Nous avons déjà entendu parler du second mandat dans ce pays; c'est le rapport de cotes avant. Qu'est-ce que P (B | A): P (B | & # 172; A)? Cela s'appelle le rapport de probabilité . Donc, notre expression finale est

  

cotes postérieures = ratio de vraisemblance * cotes antérieures.

Comment l’appliquons-nous dans cette situation? Eh bien, supposons que nous ayons des cotes antérieures x: y pour le contenu de l'urne, avec x représentant les 2/3 en rouge et y représentant les 2/3 en blanc. Supposons que nous dessinions une seule balle rouge. Le rapport de vraisemblance est P (la boule rouge dessinée | urne est aux 2/3 rouge): P (la boule rouge dessinée | urn est aux 2/3 blanche) = (2/3): (1/3) = 2: 1. les chances postérieures sont 2x: y; Si nous avions dessiné une boule blanche, les probabilités postérieures seraient de x: 2y selon un raisonnement similaire. Maintenant, nous faisons cela pour chaque balle en séquence ; si les tirages sont indépendants, nous multiplions simplement tous les rapports de cotes. Nous obtenons donc que si nous commençons avec un rapport de cotes de x: y et que nous dessinons des boules rouges et des boules blanches r, nous obtenons un rapport de cotes final de

  

(x: y) * (2: 1) ^ r * (1: 2) ^ w = (x * 2 ^ r): (y * 2 ^ w) = (x: y) * (2 ^ (rw): 1).

nous voyons donc que tout ce qui compte est la différence entre r et w. Cela nous permet également de résoudre facilement le problème. Pour le premier

Answer 3

Je suppose que la probabilité "a priori" d'une hypothèse par rapport à une autre est égale à 1/2, et que les deux individus réinsèrent chaque balle après l'avoir extraite (les extractions sont indépendantes les unes des autres).

La bonne réponse est que l'observateur deuxième devrait être plus confiant que le premier. Ma réponse précédente était fausse à cause d'une erreur triviale dans les calculs. Un grand merci à +1 à Adam Rosenfield pour sa correction.

Soit 2 / 3R 1/3W l’événement "l’urne contient les 2/3 de boules rouges et 1/3 de boules blanches" et laissez 4R, 1W Indiquez l'événement "4 balles rouges et 1 balle blanche sont extraites". Ensuite, en utilisant la règle de Bayes,

P [ 2 / 3R 1 / 3W | 4R, 1W ] = P [ 4R, 1W | 2 / 3R 1 / 3W ] P [ 2 / 3R 1/3W ] / P [ 4R, 1W ]  = (2/3) ⁴ (1/3) ¹ (1/2) / P [ 4R, 1W ]

Maintenant, puisque 2 / 3R 1 / 3W et 1 / 3R 2 / 3W sont complémentaires par hypothèse,

P [ 4R, 1W ] = P [ 4R, 1W | 2 / 3R 1 / 3W ] P [ 2 / 3R 1 / 3W ] + P [ 4R, 1W | 1 / 3R 2 / 3W ] P [ 1 / 3R 2 / 3W ] = (2/3) ⁴ (1/3) ¹ (1/2) + (1/3) ⁴ (2/3 ) ¹ (1/2)

Ainsi,

P [ 2 / 3R 1 / 3W | 4R, 1W ] = (2/3) ⁴ (1/3) ¹ (1/2) / {(2/3) ⁴ (1 / 3) ¹ (1/2) + (1/3) ⁴ (2/3) ¹ (1/2)} = 2 ^ 4 / (2 ^ 4 + 2) = 8/9

Même calcul pour P [ 2 / 3R 1 / 3W | 12R, 8W ] (c'est-à-dire ayant (2/3) ¹² (1/3) ⁸ au lieu de (2/3) ⁴ (1/3) ¹ ) maintenant 16/17 , la confiance du deuxième observateur est donc supérieure à celle du premier.

Answer 4

  

P [2 / 3R 1 / 3W | 4R, 1W] = (2/3) ^ 4 * (1/3) ^ 1 * (1/2) / {(2/3) ^ 4 * (1/3) ^ 1 * (1/2) + (1/3) ^ 4 * (2/3) ^ 1 * (1/2)} = 2 ^ 4 / (2 ^ 4 + 1) = 16/17

er,

= ⅔^4*⅓ / (⅔^4*⅓ + ⅓^4*⅔)
= 16/243 / (16/243 + 2/243)
= 16/18

P (R?W | 12R8W) fait cependant = 16/17, donc le 12R8W peut être plus confiant.

Answer 5

Héhé. Peut-être que je me trompe totalement, mais n'est-ce pas intuitif que cette réponse devrait être le second?

On voit un ratio: 4: 1 4/5: 1/5

Deux voit un rapport 3: 1 3/4: 1/4

La question est simple: qui se rapproche le plus des 2/3: 1/3? D'où la réponse est Obs. Deux.

Peut-être que j’ai commis deux erreurs et que j’obtiens une réponse simple à quelque chose de complexe, mais excusez ma patience pour expliquer longuement ce que je pensais être réellement intuitif.