Permutation & Kombinationen Interview

Question

Dies ist ein guter, weil es so kontraintuitiv:

  

eine Urne mit Kugeln gefüllt Stellen Sie sich vor, zwei Drittel davon sind von einer Farbe und ein Drittel von denen eines anderen sind. Ein Individuum hat 5 Kugeln aus der Urne gezogen und festgestellt, dass 4 sind rot und 1 ist weiß. Ein anderes Individuum hat 20 Kugeln gezogen und festgestellt, dass 12 sind rot und 8 sind weiß. Welche der beiden Individuen sollte mehr darauf vertrauen, dass die Urne enthält zwei Drittel rote Kugeln und ein Drittel weiße Kugeln, statt umgekehrt? Welche Chancen sollte jeder einzelne geben?

Ich weiß, die richtige Antwort, aber vielleicht kann ich nicht ganz die Quotenerstellung. Kann mir jemand erklären?

Answer 1

Lassen Sie A sein der Fall, dass zwei Drittel der Kugeln sind rot, und dann ¬ A ist der Fall, dass zwei Drittel der Kugeln sind weiß. Lassen Sie B das Ereignis, daß der erste Beobachter 4 rote Kugeln aus 5 sieht, und lassen Sie C sein der Fall, dass der zweite Beobachter 12 rote Kugeln aus 20 sieht

einige einfache Kombinatorik anwenden, erhalten wir, dass

• P ( B | A ) = (5 wählen 4) (2/3) ⁴ (1/3) ¹ = 80/243
• P ( B | ¬ A ) = (5 wählen 4) (1/3) ⁴ (2/3) ¹ = 10/243

Daher von Bayes' Recht, Beobachter 1 hat ein Konfidenzniveau von 80 / (80 + 10) = 09.08, dass A ist wahr.

Für den zweiten Beobachter:

• P ( C | A ) = (20 wählen 12) (2/3) ¹² (1/3) ⁸ = 125.970 * 2 ¹² / 3 ²⁰
• P ( C | ¬ A ) = (20 wählen 12) (1/3) ¹² (2/3) ⁸ = 125970 * 2 ⁸ / 3 ²⁰

Also noch einmal von Bayes' Recht, Beobachter 2 haben ein Konfidenzniveau von 2 ¹² / (2 ¹² + 2 ⁸ ) = 16 / 17, dass A ist wahr.

Daher Beobachter zwei hat ein höheres Konfidenzniveau, dass 2/3 der Kugeln sind rot. Der Schlüssel ist, zu verstehen, wie Bayes-Gesetz arbeitet. In der Tat ist alles, was zählt, ist die Unterschied in der Zahl der roten und weißen Kugeln beobachtet. Alles andere (speziell die Gesamtzahl der Kugeln gezogen) bricht in den Gleichungen aus.

Answer 2

Eliezer Yudkowsky hat eine (wirklich, wirklich lange, aber gut) Erklärung der Satz von Bayes . Etwa 70% nach unten, gibt es einen Absatz beginnen „Vor Ihnen ist ein bookbag“, die den Kern des Problems erklärt.

Die Pointe ist, dass alles, was zählt, ist der Unterschied zwischen dem, wie viele roten und weißen Kugeln gezeichnet worden. So Gegensatz , was andere gesagt haben, Sie müssen nicht tun alle Berechnungen. (Dies ist eine der vernünftigen Annahmen (a), dass die Kugeln gezogen werden mit Ersatz , oder (b) die Urne hat ein Los von Kugeln. Dann ist die Anzahl der Bälle spielt keine Rolle) Hier ist das Argument:.

Recall Bayes-Theorem: P (A | B) = P (B | A) * P (A) / P (B). (Eine Anmerkung zur Terminologie: P (A) ist die vor und P (A | B) ist die posterior B wird einige Beobachtung Sie gemacht, und die Terminologie Ihre widerspiegelt. Vertrauen vor und nach Ihrer Beobachtung.) Diese Form des Satzes ist in Ordnung, und @bobince und @ Adam Rosenfield es richtig angewandt werden. Jedoch direkt mit diesem Formular macht Sie anfällig Fehler Arithmetik und sie nicht wirklich vermitteln die Herz von Bayes-Theorem. Adam erwähnt in seinem Beitrag (und ich schon erwähnt, oben), dass alles, was zählt ist der Unterschied zwischen dem, wie viele rote und weiße Kugeln gezeichnet worden, weil „alles andere in den Gleichungen aufhebt“. Wie können wir sehen dies keine Berechnungen, ohne dabei?

Wir verwenden die Begriffe Odds Ratio und Wahrscheinlichkeitsverhältnis . Was ist ein Odds Ratio? Nun, statt darüber nachzudenken, P (A) und P (¬A), wir denken über ihr Verhältnis P (A): P (¬A). Entweder ist erstattungsfähig von den anderen, aber die Arithmetik funktioniert schöner mit Odds Ratios, weil wir nicht normalisieren müssen. Darüber hinaus ist es einfacher, Bayes-Theorem in seiner alternativen Form "erhalten".

Was meine ich uns nicht normalisieren müssen, und was ist die alternative Form? Nun, lassen Sie uns berechnen. Bayes-Theorem besagt, dass die hinteren Chancen

  

P (A | B): P (¬A | B) = (P (B | A) * P (A) / P (B)): (P (B | ¬A) * P (¬A ) / P (B)).

P (B) ist ein Normalisierungsfaktor der Wahrscheinlichkeiten, um zu einer Summe; aber wir arbeiten mit Verhältnissen, wobei 2: 1 und 4: 2 Odds sind die gleiche Sache, so dass die P (B) aufhebt. Wir sind mit einem einfachen Ausdruck hinterlassen, die Faktor passiert:

  

P (A | B): P (¬A | B) = (P (B | A) * P (A)): (P (B | ¬A) * P (¬A)) = (P (B | A): P (B | ¬A)) * (P (A): P (¬A))

Wir haben bereits von dem zweiten Term dort gehören; es ist der Stand der Odds Ratio. Was ist P (B | A): P (B | ¬A)? Das ist das Wahrscheinlichkeitsverhältnis genannt. So ist unser letzter Ausdruck ist

  

posterior odds = Likelihood-Verhältnis * vor odds.

Wie bewerbe wir es in dieser Situation? Nun, angenommen, wir haben einige vor odds x: y nicht für den Inhalt der Urne, mit x repräsentiert 2 / 3rds rot und y repräsentieren 2 / 3rds weiß. Angenommen, wir ziehen eine Single rote Kugel. Das Wahrscheinlichkeitsverhältnis P (zog rote Kugel | Urne ist 2 / 3rds rot): P (zog rote Kugel | Urne ist 2 / 3rds weiß) = (2/3): (1/3) = 2: 1. So die posterior odds sind 2x: y; Wir hatten eine weiße Kugel gezogen, würden die hinteren odds x sein: 2j durch ähnliche Argumentation. Jetzt tun wir dies für jeden Ball in Sequenz ; wenn die zieht unabhängig sind, dann nur multiplizieren wir alle Odds Ratios. So erhalten wir, wenn wir mit einer Odds Ratio von x starten: y und ziehen r rote Kugeln und w weiße Kugeln, wir ein endgültiges Odds Ratio von

erhalten

  

(x: y) * (2: 1) ^ r * (1: 2) ^ w = (x * 2 ^ r): (y * 2 ^ w) = (x: y) * (2 ^ (rw): 1.)

so sehen wir, dass alles, was der Unterschied zwischen r und w zählt, ist. Außerdem können wir das Problem leicht lösen. Für die erste Frage ( „wer mehr sicher sein sollte?“), Die vor Chancen sind nicht wichtig, solangesie sind nicht 1: 0 oder 0: 1 und beide Personen gleich priors haben. In der Tat, wenn sie identisch vor wurde x: y, die erste Person, der posterior wäre (2 ^ 3 * x): y, während die posteriore zweite Person wäre (2 ^ 4 * x): y, so dass die zweite Person ist sicher.

Darüber hinaus wird angenommen, dass die vor Chancen waren einheitlich, dh 1: 1. Dann wird die erste Person, der posterior würde 8: 1, während die zweite Person 16 sein würde, die: 1. Wir diese in Wahrscheinlichkeiten von 8/9 leicht übersetzen und 16/17, die anderen Berechnungen bestätigt.

Der Punkt hier ist, dass, wenn Sie get die bolded Gleichung oben, dann ist dieses Problem einfach . Aber als wichtiger , können Sie sicher, dass Sie jede Arithmetik nicht vermasseln tun, weil man so wenig zu tun hat.

Das ist also eine schlechte Programmierung Frage, aber es ist ein guter Test der bolded Gleichung. Nur für die Praxis, wollen wir es noch zwei weitere Probleme gelten:

  

ich ein von zwei Münzen Zufall wählen, eine faire Münze oder eine Fälschung, doppelköpfige Münze, die jeweils mit 50% Wahrscheinlichkeit. Ich blättere es dreimal und es kommt Köpfe alle dreimal. Was ist die Wahrscheinlichkeit, es ist die echte Münze?

Die bisherigen Vorteile sind real: Fake = 1: 1, wie es in dem Problem angegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich mit der realen Münze drei Köpfe gesehen haben würde, ist 08.01, aber es ist 1 mit der gefälschten Münze, so dass die Wahrscheinlichkeit Verhältnis 1: 8. So ist die hinteren Chancen = vor * Wahrscheinlichkeit = 1: 8. So die Wahrscheinlichkeit, es ist die echte Münze ist 09.01.

Dieses Problem bringt auch eine wichtige Einschränkung auf: Es gibt ein möglicherweise unterschiedliches Wahrscheinlichkeitsverhältnis für jede mögliche Beobachtung. Dies ist, weil das Wahrscheinlichkeitsverhältnis für B ist P (B | A): P (B | ¬A), die auf das Wahrscheinlichkeitsverhältnis für ¬B Zusammenhang nicht zwingend ist, worin P (¬B | A): P (¬ B | ¬A). Leider ist in allen Beispielen oben, sie haben gewesen invers zueinander sind, aber hier sind sie nicht.

Tatsächlich nehme ich die Münze werfen einmal und bekommen Schwänze. Was ist die Wahrscheinlichkeit, es ist die echte Münze? Offensichtlich ein. Wie funktioniert Bayes-Theorem an! Nun, das Wahrscheinlichkeitsverhältnis für diese Beobachtung ist die Wahrscheinlichkeit, dieses Ergebnis zu sehen, mit der echten Münze gegen die gefälschte Münze, die 1/2: 0 = 1: 0. Das heißt, sieht ein Single Schwänze tötet die Wahrscheinlichkeit des Seins gefälschte Münze, die mit unserer Intuition auscheckt.

Hier ist das Problem, das ich von Eliezer Seite erwähnt:

  

Vor Ihnen ist ein bookbag 1000 Poker-Chips enthalten. Ich begann mit zwei solchen bookbags, einem mit 700 roten und 300 Blue Chips, die anderen 300 rot und blau 700 enthalten. Ich blätterte eine faire Münze zu benutzen, die bookbag, um festzustellen, so dass Ihre frühere Wahrscheinlichkeit, dass die bookbag vor Ihnen die rote bookbag ist 50%. Nun, probieren Sie zufällig, mit Ersatz nach jedem Chip. In 12 Proben, erhalten Sie 8 Rot- und 4 Blues. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies die überwiegend rote Tasche ist? (Sie brauchen nicht genau zu sein -. Eine grobe Schätzung ist gut genug)

Die bekannten Vorteile sind rot: Blau = 1: 1. Die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse sind 7: 3 und 3: 7, so dass die posteriore odds (7: 3) ^ 8 * (3: 7) ^ 4 ^ 7 = 4: 3 ^ 4. Zu diesem Zeitpunkt schätzen wir, nur 7: 3 als, sagen wir, 2: 1, und Sie erhalten 2 ^ 4: 1 = 16: 1. Unsere endgültige Antwort ist noch größer, so ist es auf jeden Fall größer als 95% oder so; die richtige Antwort ist um 96,7%. Vergleichen Sie dies mit den meisten Menschen die Antworten, die in der 70--80% -Bereich sind.

Ich hoffe, Sie stimmen zu, dass Probleme wirklich leicht worden, und intuitive , wenn in diesem Licht betrachtet.

Answer 3

Ich gehe davon aus, dass die ‚a priori‘ Wahrscheinlichkeit einer Hypothese im Vergleich zu dem anderen ist 1/2, und darüber hinaus, dass die beiden Personen jede Kugel wieder einsetzen, nachdem sie Extrahieren (Extraktionen sind unabhängig voneinander).

Die richtige Antwort ist, dass die zweiten Beobachter zuversichtlicher sein sollte als die erste. Meine Antwort falsch war wegen eines trivialen Fehler in Berechnungen, vielen Dank und +1 zu Adam Rosenfield für seine Korrektur.

Lassen Sie 2 / 3R 1 / 3W bezeichnen das Ereignis "die Urne enthält 2/3 der roten Kugeln und 1/3 weiße Kugeln", und lassen Sie 4R, 1W bezeichnen die Veranstaltung „4 rote Kugeln und 1 weiße Kugel bekommen extrahieren“. Dann wird unter Verwendung der Bayes-Regel,

P [ 2 / 3R 1 / 3W | 4R, 1W ] = P [ 4R, 1W | 2 / 3R 1 / 3W ] P [ 2 / 3R 1 / 3W ] / P [ 4R, 1W ]  = (2/3) ⁴ (1/3) ¹ (1/2) / P [ 4R, 1 W ]

Jetzt, da 2 / 3R 1 / 3W und 1 / 3R 2 / 3W sind komplementär durch Hypothese,

P [ 4R, 1W ] = P [ 4R, 1W | 2 / 3R 1 / 3W ] P [ 2 / 3R 1 / 3W ] + P [ 4R, 1W | 1 / 3R 2 / 3W ] P [ 1 / 3R 2 / 3W ] = (2/3) ⁴ (1/3) ¹ (1/2) + (1/3) ⁴ (2/3 ) ¹ (1/2)

So

P [ 2 / 3R 1 / 3W | 4R, 1W ] = (2/3) ⁴ (1/3) ¹ (1/2) / {(2/3) ⁴ (1 / 3) ¹ (1/2) + (1/3) ⁴ (2/3) ¹ (1/2)} = 2 ^ 4 / (2 ^ 4 + 2) = 8/9

Die gleiche Berechnung für P [ 2 / 3R 1 / 3W | 12R, 8W ] (dh mit (2/3) ¹² (1/3) ⁸ anstelle von (2/3) ⁴ (1/3) ¹ ) liefert nun 16/17 , damit das Vertrauen des zweiten Betrachters größer ist als die des ersten.

Answer 4

  

P [2 / 3R 1 / 3W | 4R, 1 W] = (2/3) ^ 4 * (1/3) * ^ 1 (1/2) / {(2/3) ^ 4 * (1/3) * ^ 1 (1/2) + (1/3) ^ 4 * (2/3) * ^ 1 (1/2)} = 2 ^ 4 / (2 ^ 4 + 1) = 16/17

er

= ⅔^4*⅓ / (⅔^4*⅓ + ⅓^4*⅔)
= 16/243 / (16/243 + 2/243)
= 16/18

P (⅔R⅓W | 12R8W) hat in der Tat jedoch = 16/17, so dass der 12R8W kann mehr sicher sein,

.

Answer 5

Hehe. sein kann ich völlig falsch bin, aber es ist nicht intuitiv, dass Antwort sollte zweiter Mann sein?

Man sieht ein Verhältnis: 4: 1 4/5: 1/5

Zwei sieht ein Verhältnis von 3: 1 3/4: 1/4

So einfache Frage ist, die näher an 2/3: 1/3? Daraus ergibt sich die Antwort ist Obs. Zwei.

Kann sein, ich habe zwei Fehler gemacht und bin immer einfache Antwort auf etwas komplex, aber verzeihen Sie meine Geduld für lange Erklärung zu durchlaufen, was ich dachte eigentlich intuitiv war.