مجموعة مجموع مجموعة فرعية للتصايد

Question

الملفات المعطى $ g_1، \، \ ldots، g_m \ in s_n $ من الحجم $ n $ وتستهدف التقليب $ g \ in s_n $ ، حدد ما إذا كان هناك مجموعة فرعية من $ \ {g_1، \، \ \ LDOTS، G_M \} $ ، أي تكوين بعض الطلبات (أو، بدلا من ذلك، كمتغيير من هذه المشكلة، بنفس الترتيب) يساوي $ g $ < / span>، أي $ g_ {i_1} \ circ g_ {i_2} \ device \ cdots \ CIRR g_ {i_k}= g $ .

هذا هو في الواقع مشكلة المجمدة الفرعية ، ولكن المجموعة المتماثلة $ (s_n، circ) $ بدلا من < Span Class="حاوية الرياضيات"> $ (\ mathbb {z}، +) $ .

الأسئلة هي:

1. هل هناك حل معروف في وقت متعدد الحدود؟
2. خلاف ذلك، هل هذه المشكلة تعرف باسم NP-Complete؟

لقد وجدت ورقة على مشاكل الحرف في المجموعات ، ومع ذلك، يبدو أن هذه النتائج لا ينطبق على المجموعة المتماثلة.

Answer 1

هذه المشكلة، وسأتدعي Subst-Perm-Sum، هو NP-Complete. العضوية سهلة: تخمين مجموعة فرعية غير محددة ثم تحقق.

للحصول على صلابة واحدة يمكن للمرء أن يقلل من 3CNF-SAT بطريقة مشابهة جدا على إثبات صلابة قياسية للمجموع الفرعي.

دع $ \ varphi $ تكون صيغة الإدخال مع $ v $ المتغيرات و $ C $ الجمل. سنبني مثيل من مجموعة فرعية برمجت فوق $ S_ {2V + 4C} $ . لكل متغير، نبني 2 دولار أمريكي التباديل (واحد من شأنه أن يمثل المتغير، وواحد يمثل نفيه)، ولكل جملة سنبني $ 2 $ التباديل أيضا.

إلى كل جملة $ c_j، 1 \ leq j \ leq c $ نحن مشارك $ 4 $ عناصر : $ 2V + 4J-K $ for $ 0 \ leq k \ leq 3 $ . لبناء $ 2 $ التباديل المرتبط بجملة نفعلها ببساطة دورة على عناصرها المرتبطة بها. هذا هو، $$ P (C_J)= (2V + 4J-3، 2V + 4J-2، 2V + 4J-1، 2V + 4J) $ ( سنضيف $ 2 $ مثيل $ p (c_j) $ إلى المجموعة التي نريد العثور عليها - في وقت لاحق.)

النظر في $ i $ متغير، $ x_i $ ، وربط معها العناصر $ 2i-1 $ and $ 2i $ من $ s_ {2V + 4C} $ . لبناء التقليب $ p (x_i) $ متغير $ X_I $ ببساطة مبادلة العناصر المرتبطة بها (<< Span Class="Math-Container"> $ 2i-1 $ and $ 2i $ )، وضربها من التقليب من كل جملة موجودة في . ثم، في تدوين الدورة يمكنك الكتابة: $$ p (x_i)= (2i-1، 2i) \ prod_ {j | x_i \ في c_j} p (c_j)

مراعاة الآن multiset $ m $ هذا هو اتحاد $ p (x_i) $ و $ p (\ bar {x_i}) $ ومرتين كل $ p (c_j) $ .

نحدد التقليب المستهدف $ t $ as:

$$ T=prod_ {i= 1} ^ v (2i-1، 2i) \ cdot \ prod_ {j= 1} ^ c p (c_j) ^ 3

ادعاء: هناك مجموعة فرعية $ x $ $ m $ هذا يتوهج إلى التقليب المستهدف $ t $ (اسمحوا لي أن أكتب $ p (x)= t $ ) إذا وفقط إذا $ \ varphi $ راضي.

افترض مثل $ x $ موجود، ثم نحن نعرف $ x $ يحتوي على واحد بالضبط خارج $ p (x_i) $ و $ p (\ bar {x} _i) $ ، كما هو الطريقة الوحيدة لتكوين $ x $ لتضمين دورة $ (2i-1، 2i) $ . علاوة على ذلك، يمكننا أن نرى أنه لكل بند $ c_j \ in \ varphi $ ، واحد على الأقل إذا كانت المتغيرات ترضي، كما أن لديك $ p (c_j) ^ 3 $ في $ p (x) $ نحن بحاجة إلى تضمنت $ p (\ ell_i) $ مثل $ \ ell_i $ هو في $ c_j $ . لاحظ أن أخذ مثيلتين من $ p (c_j) $ في $ x $ لا يكفي. لذلك، هناك مهمة من المتغيرات التي ترضي كل جملة. للاتجاه المتخلص، دع $ \ Sigma $ تكون مهمة مرضية من $ \ varphi $ . إذا $ \ sigma (x_i)= 1 دولار ثم ندع $ x $ تحتوي على $ p (x_i) $ وإلا فإننا نسمح لها تحتوي على $ p (\ bar {x} _i) $ . لكل جملة $ c_j $ ، نحن نعلم أن هناك بين $ 0 \ leq r_j \ leq 2 $ المتغيرات هذا غير راض عن $ \ sigma $ ، ونضيف $ r_j $ تكرارات $ p (c_j) $ إلى $ x $ ، بهذه الطريقة $ P (x) $ يتضمن $ p (c_j) ^ 3 $ . من الواضح أن تكوين

Tainer "> $ x $ يساوي $ T $ .

Answer 2

مشكلة المجمدة الفرعية هي أصعب (NP-HARD) للمجموعات الخاصة التي يمكنك تضمينها في $ s_n $ . انظر الورق الذي ترتبط فيه في وصف المشكلة.

$ \ textbf {ملاحظة:} $ $ g $ يمكن أن تتحدث كجمع مزيج من العناصر < Span Class="حاوية الرياضيات"> $ \ {g_1، \ ldots، g_k \} $ إذا وفقط إذا كان $ g \ in \ langle g_1، \ ldots، g_k \ rangle $ . تحت افتراض أن كل من يمكن أن يظهر $ G_I $ أي عدد من المرات.

تعتمد تعقيد المشكلة على تمثيل الإدخال. هناك طريقتان الأكثر استخداما، طاولة كايلي ومجموعة توليد. لجدول Cayley، انظر هذه الورقة للنتائج. اقرأ CGM (مشكلة عضوية Cayley) رابط

$ \ textbf {cgm} $

$ \ textbf {الإدخال:} $ مجموعة $ g $ بواسطة طاولة Cayley الخاصة به، < Span Class="حاوية الرياضيات"> $ x \ subseteq g $ and $ t \ in g $ .

$ \ textbf {الإخراج:} $ هل $ t $ تنتمي إلى المجموعة الفرعية $ \ lovery x \ rangle $ تم إنشاؤها بواسطة $ x $ ؟

بشكل عام في مساحة السجل المتماثلة.

---

$ \ Langle a \ rangle $ يعني المجموعات الفرعية الناتجة عن $ $