置换子集合问题

Question

给定的置换<跨度类=“math-container”> $ g_1，\，\ ldots，g_m \在s_n $ 中的大小 $ n $ 和目标置换 $ g \在s_n $ 中，确定是否存在 $ \ {g_1，\，\的子集LDOTS，G_M \} $ ，在某些顺序中（或者，作为此问题的变体）的组合（或者以相同的顺序）等于 $ g $ < / span>，即 $ g_ {i_1} \ circ g_ {i_2} \ circ \ cdots \ circ g_ {i_k}= g $ 。

这实际上是一个子集sum sum sump ，但对于对称组 $（s_n，\ cir）$ 而不是<跨越类=“math-container”> $（\ mathbb {z}，+）$ 。

问题是：

1. 在多项式时间有已知的解决方案？
否则
2. ，是这个问题已知为np-complete？

我在，然而，这些结果似乎是不适用于对称组。

Answer 1

这个问题，我将调用子集 - perm-sum，是np-complete。成员资格很容易：非确定性地猜测子集，然后检查。

对于硬度，可以从3CNF-SAT以非常相似的方式减少到子集合和的标准硬度证明。

let $ \ varphi $ 用 $ v $ 变量和 $ C $ 条文。我们将构建子集 - PUML-SUM的实例 $ s_ {2v + 4c} $ 。对于每个变量，我们构建 $ 2 $ 排列（一个代表变量的val，以及一个表示其否定的一个），并且对于我们将构建 2美元$ 排列。

到每个子句 $ c_j，1 \ leq j \ leq c $ we关联 $ 4 $ 元素： $ 2v + 4j-k $ for $ 0 \ leq k \ leq 3 $ 。构建 $ 2 $ 禁止与子句相关联，我们只需在其关联元素上执行一个周期。也就是说， $$ p（c_j）=（2v + 4j-3，2v + 4j-2，2v + 4j-1，2v + 4j）$$ （我们将添加 $ 2 $ $ p（c_j）$ 到我们想要查找子集的集合-sum以后。）

考虑 $ i $ -th变量， $ x_i $ ，并与它关联元素 $ 2i-1 $ 和 $ 2i $ $ s_ {2v + 4c} $ 。 构建置换 $ p（x_i）$ 变量 $ x_i $ 只交换其关联元素（< Span Class=“Math-Container”> $ 2i-1 $ 和 $ 2i $ ），并乘以每个子句的排列。然后，在循环符号中，您可以写入： $$ p（x_i）=（2i-1,2i）\ prod_ {j | x_i \在c_j} p（c_j） $$

现在考虑MultiSet $ M $ ，这是 $ p（x_i）$ 的联合 $ p（\ bar {x_i}）$ 和两个 $ p（c_j）$ 。

我们定义目标置换 $ t $ 为：

$$ t=prod_ {i= 1} ^ v（2i-1，2i）\ cdot \ prod_ {j= 1} ^ c p（c_j）^ 3 $$

声明：有一个子集 $ x $ $ m $ 撰写到目标置换 $ t $ （让我写入 $ p（x）= t $ ）如果且仅当 $ \ varphi $ 是满足的。

假设存在这样的 $ x $ 存在，那么我们知道 $ x $ 完全是一个 $ p（x_i）$ 和 $ p（\ bar {x} _i）$ ，原样 $ x $ 的唯一方法，包括循环 $（2i-1,2i）$ 。此外，我们可以看到，对于每个子句 $ c_j \ in \ varphi $ ，如果变量满足它，则具有 $ p（c_j）^ 3 $ $ p（x）$ 我们需要包含 $ p（\ ell_i）$ 这样的文字 $ \ ell_i $ 在 $ c_j $ 。请注意，使用 $ p（c_j）$ 中的两个实例在 $ x $ 中是不够的。因此，存在满足每个子句的变量的分配。 对于向后方向，Let $ \ sigma $ 是 $ \ vari $ 的令人满意的分配。如果 $ \ sigma（x_i）= 1 $ 那么我们让 $ x $ 包含 $ p（x_i）$ ，否则我们让它包含 $ p（\ bar {x} _i）$ 。对于每个子句 $ c_j $ ，我们知道在 $ 0 \ leq r_j \ leq 2 $ 变量之间它不满足 $ \ sigma $ ，我们添加 $ r_j $ $ P（C_J）$ 到 $ x $ ，所以这种方式 $ p（x）$ 包括 $ p（c_j）^ 3 $ 。很明显<跨度类=“math-con的组成

tainer“> $ x $ 等于 $ t $ 。

Answer 2

子集问题甚至更难（np-solly），适用于您可以嵌入 $ s_n $ 的特殊组。查看您在问题描述中链接的纸张。

$ \ textbf {neationation：} $ $ g $ 可以作为元素的组合包装<跨越类=“math-container”> $ \ {g_1，\ ldots，g_k \} $ 如果且仅当 $ g \ in \ langle g_1，\ ldots， g_k \ rangle $ 。在假设<跨度类=“math-container”> $ g_i $ 中可以出现任何次数。

问题的复杂性取决于输入表示。有两种最常用的方式，Cayley表和生成集。对于Cayley桌，请参阅本文的结果。阅读CGM（Cayley会员问题）链接

$ \ textbf {cgm} $

$ \ textbf {输入：} $ 一个组 $ g $ 由其Cayley表，<跨越类=“math-container”> $ x \ subseteq g $ 和 $ t \ in g $ 。

$ \ textbf {output：} $ do $ t $ 属于子组 $ \ langle x \ rangle $ 由 $ x $ ？

在一般问题中，在对称的日志空间中。

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$ \ langle a \ rangle $ 表示 $ a $

生成的子组