Сумма подмножества проблемы для перестановок

Question

Учитывая перестановки $ g_1, \, \ ldots, g_m \ in s_n $ Размер $ n $ И целевая перестановка $ G \ in s_n $ , решить, существует ли подмножество $ \ {g_1, \, \, \, \, \ ldots, g_m \} $ , какой композицию в некотором смысле (или, альтернативно, как вариант этой проблемы, в том же порядке) равен $ G $ < / span>, т.е. $ g_ {i_1} \ circ g_ {i_2} \ circ \ cdots \ circ g $ {i_k}= g $ .

Это на самом деле A a Проблема подмножества Summent , но для Симметричная группа $ (s_n, \ circ) $ вместо < Spaness Class="Math-Container"> $ (\ mathbb {z}, +) $ .

Вопросы:

1. есть известное решение в многочленом времени?
2. в противном случае эта проблема известна как np-comply?

Я нашел бумагу на Кнапсолога проблем в группах , однако, эти результаты кажутся не применимо для симметричной группы.

Answer 1

Эта проблема, которую я позвоню под названием-SUM-SUM, является NP-Complete. Членство легко: угадайте подмножество не детерминированно, а затем проверьте.

для твердости можно уменьшить от 3CNF-SAT очень похожими на стандартное доказательство твердости для суммы подмножества.

Пусть $ \ varphi $ - это входная формула с помощью $ v $ Переменные и $ C $ Clauses. Мы построим экземпляр подмножества - Sum-Sum over $ s_ {2v + 4c} $ . Для каждой переменной мы строим $ 2 $ Перестановки (тот, который будет представлять переменную, и тот, который будет представлять его отрицание), а для каждого пункта мы будем строить $ 2 $ Перестановки также.

к каждому пункту $ c_j, 1 \ leq j \ leq c $ Мы связываем Элементы $ 4 $ : $ 2V + 4J-K $ для $ 0 \ leq k \ leq 3 $ . Для создания $ 2 $ Перестановки, связанные с пунктом, мы просто делаем цикл на связанных элементах. То есть $$ p (c_j)= (2v + 4j-3, 2v + 4j-2, 2v + 4j-1, 2v + 4j) $$ ( Мы добавим $ 2 $ экземпляр $ p (c_j) $ на множество, которое мы хотим найти подмножество -sum позже.)

Рассмотрим $ i $ -th vimanable, $ x_i $ , и связывают с ним элементы элементов $ 2i - 1 $ и $ 2i $ $ S_ {2V + 4C} $ . Для создания перестановки $ p (x_i) $ Переменная $ x_i $ Просто поменяйте соответствующие связанные элементы (< SPAN CLASS= «Математический контейнер»> $ 2i - 1 $ и $ 2i $ ), и умножить на перестановку каждого пункта, в котором он содержится в , Тогда в циклическом обозначении вы можете написать: $$ p (x_i)= (2i-1, 2i) \ prod_ {j | x_i \ in c_j} p (c_j) $$

Рассмотрим теперь MultiSet $ m $ , который является объединением $ p (x_i) $ и $ p (\ bar {x_i}) $ и два раза каждый $ p (c_j) $ .

Мы определяем целевую перестановку $ T $ AS:

$$ t=prod_ {i= 1} ^ v (2i-1, 2i) \ cdot \ prod_ {j= 1} ^ c p (c_j) ^ 3 $$

ELST: есть подмножество $ x $ $ m $ Это состоит в целевой перестановке $ t $ (позвольте мне написать $ p (x)= t $ ) Если и только если $ \ varphi $ удовлетворяет.

Предположим, что такое $ x $ существует, то мы знаем, что мы знаем $ x $ содержит ровно один из $ p (x_i) $ и $ P (\ bar {x} _i) $ , как это Единственный способ для композиции $ x $ , чтобы включить цикл $ (2i - 1, 2i) $ Кроме того, мы видим, что для каждого предложения $ C_J \ in \ varphi $ , по крайней мере, если переменные удовлетворяют его, как иметь $ p (c_j) ^ 3 $ в $ p (x) $ Нам нужно включить $ p (\ el_el_i) $ Такой, что буквальный $ \ ell_i $ находится в $ C_J $ . Обратите внимание, что принимая два экземпляра $ p (c_j) $ в $ x $ недостаточно. Следовательно, существует задание переменных, которые удовлетворяют всему пункту. Для обратного направления, пусть $ \ Sigma $ - удовлетворяющее задание $ \ varphi $ . Если $ \ sigma (x_i)= 1 $ Тогда мы позволяем $ x $ содержат $ p (x_i) $ и в противном случае мы позволяем ему содержать $ p (\ bar {x} _i) $ . Для каждого предложения $ C_J $ , мы знаем, что между $ 0 \ leq r_j \ leq 2 $ переменные на Это не удовлетворены $ \ Sigma $ , и мы добавляем $ r_j $ вхождения $ P (C_J) $ на $ x $ , так что этот путь $ p (x) $ включает в себя $ p (c_j) ^ 3 $ . Ясно, что композиция

Tainer "> $ x $ равен $ t $ .

Answer 2

Проблема суммы подмножества еще более сложнее (NP-HARD) для специальных групп, которые вы можете встроить в $ s_n $ . Смотрите бумагу, которую вы связали в описании проблемы.

$ \ textbf {Наблюдение:} $ $ g $ может быть записан в качестве комбинации элементов Spaness Class="Math-Container"> $ \ {g_1, \ ldots, g_k \} $ Если и только если $ g \ in \ langle g_1, \ ldots, G_K \ Rangle $ . Под предположением, что каждый из $ G_I $ может появиться любое количество раз.

Сложность проблемы зависит от входного представления. Существует два двух наиболее часто используемых способа, таблица Cayley и Generation Set. Для таблицы Cayley см. Этот документ для результатов. Прочитайте CGM (проблема членства в Cayley) Ссылка

$ \ textbf {cgm} $

$ \ textbf {вход:} $ Группа $ G $ по ее таблице Cayley, SPAN CLASS= «Математический контейнер»> $ x \ subsretq g $ и $ t \ in g $ .

$ \ textbf {Выход:} $ делает $ T $ принадлежат к подгруппе $ \ langle x \ rungle $ сгенерировано $ x $ ?

в общей проблеме в симметричном пространстве журнала.

---

$ \ langle \ rungle $ означает подгруппу, генерируемую $ a $