順列のサブセット合計問題

Question

与えられた順列 $ g_1、\、\ ldots、g_m \ in s_n $ $ n $ とターゲット順列 $ G \ in S_N $ の $ \ {g_1、\、\、\、\、\、\、\、\、\}のサブセットがあるかどうかを決定します。 LDOTS、G_M \} $ 、どのコンポジション（あるいはこの問題の変形として同じ順序として同じ）に等しい $ G $ < / span>、つまり $ g_ {i_1} \ circ g_2} \ circ \ cc \ circ g_ {i_k}= g $ 。

は、実際にはサブセット合計問題ですが、 symmetric group $（s_n、\ circ）$ の代わりに SPAN CLASS="math-container"> $（\ mathbb {z}、+）$ 。

質問は次のとおりです。

1. 多項式時間に既知の解決策はありますか？
2. それ以外の場合は、この問題はNP-Completeとして知られていますか？

Answer 1

この問題は、サブセットペルミュームを呼び出すことになることはNP完了です。メンバーシップは簡単です：サブセットを非決定的に推測してから確認してください。

硬度のために、サブセット和の標準硬さの標準証明と非常に同様の方法で3CNF-SATから減少させることができます。

$ \ varphi $ $ v $ 変数と $ C $ 句。サブセット-PERM-SUM over $ s_ {2v + 4C} $ のインスタンスを構築します。すべての変数に対して、 $ 2 $ alputations（変数を表すもの、およびその否定を表すもの）、および $ 2 $ 順列と同様に。

各句 $ c_j、1 \ leq j \ leq c $ $ 4 $ 要素を関連付ける： $ 2V + 4J-K $ for $ 0 \ leq k \ leq 3 $ 。 $ 2 $ の順列を作成するには、単にその関連要素にサイクルを実行します。つまり、 $$ p（c_j）=（2V + 4J-3,2V + 4J-1,2V + 4J-1,2V + 4J）$$ （ $ p（c_j）$ のインスタンスを追加します。サブセットを見つけたいセットに追加します。 -sum後で）

$ i $ -th変数、 $ x_i $ を考慮し、それに要素に関連付けます。 $ 2i-1 $ と $ s_の$ 2i $ {2V + 4C} $ 。 変数 $ p（x_i）$ の置換 $ x_i $ の$ p（x_i）$ は、関連する要素を交換するだけです（< SPAN CLASS="Math-Container"> $ 2i-1 $ と $ 2i $ ）、およびそれが含まれている各句の置換による乗算。その後、サイクル表記で書くことができます。 $$ P（x_i）=（2i-1,2i）\ prod_ {j | x_i \ in c_j} p（c_j） $$

今すぐ検討する $ m $ $ p（x_i）$ の共用体です。 $ p（\ bar {x_i}）$ 、および各 $ p（c_j）$ 。

ターゲット順列 $ t $ として定義します。

$$ t=prod_ {i= 1} ^ v（2i-1,2i）\ cdot \ prod_ {j= 1} ^ c p（c_j）^ 3 $$

クレーム： $ x $ の $ m $ ターゲット順列 $ t $ になります（ $ p（x）= t $ を書き込んでください。 $ \ varphi $ の場合に限り、

そのような $ x $ が存在していると仮定して、 $ x $ を知っています $ p（x_i）$ と $ p（\ bar {x} _i）$ $ x $ の構成の唯一の方法は、サイクル $（2i-1,2i）$ 。さらに、各句 $ c_j \ in \ varphi $ の場合、 $ p（c_j）^ 3 $ in $ p（x）$ $ P（\ etell_i）$ リテラル $ \ etell_i $ が $ c_j $ 。 $ p（c_j）$ の2つのインスタンスを取ることに注意してください。$ x $ は十分ではありません。したがって、すべての句を満たす変数の割り当てがあります。 後方方向には、 $ \ sigma $ を $ \ varphi $ の割り当てを満たすことができます。 $ \ sigma（x_i）= 1 $ の場合、 $ x $ に $ P（x_i）$ 、そうでなければ $ p（\ bar {x} _i）$ を含みます。各句 $ c_j $ について、 $ 0 \ leq r_j \ leq 2 $ 変数の間にあることがわかります。これは $ \ sigma $ によって満たされていない、そして $ r_j $ の発生 $ P（C_J）$ $ x $ $ p（x）$ には、 $ p（c_j）^ 3 $ が含まれています。

Tainer "> $ X $ $ t $ 。

Answer 2

サブセットの合計の問題は、 $ s_n $ に埋め込むことができる特殊グループにさらに難しい（NP-HARD）です。問題の説明にリンクしている論文を参照してください。

$ \ textbf {hother：} $ $ G $ は、要素の組み合わせとしてrittens < SPAN CLASS="math-container"> $ \ {g_1、\ ldots、g_k \} $ " $ g \ in \ langle g_1、\ ldots、 g_k \ rangle $ 。 $ g_i $ のそれぞれが任意の回数表示できるという仮定。

問題の複雑さは入力表現によって異なります。 2つの最も一般的に使用されている方法、Cayley Table、および生成セットがあります。 Cayley Tableの場合、結果についてこの論文をご覧ください。 CGM（Cayley Membership Problem）を読んでください。 -token= IQoJb3JpZ2luX2VjEDUaCXVzLWVhc3QtMSJGMEQCIHbbaEM4RO239HiLv2Pnl8bdpEU7Mrd9k％2BR4QKbBER9AAiAxBSlfmXfDuSffiw0XLWRkRp4NPwevWtcLpAoFoJQdbSq9Awid％2F％2F％2F％2F％2F％2F％2F％2F％2F％2F8BEAIaDDA1OTAwMzU0Njg2NSIM5ECwOZFTcf％2FVx0QaKpEDRYivTZyAK0h7ixnqkRGNDphj3n9EIu8a29oUHugCVJfTbyT4vFhayrFQscEsFjq4QcL％2BL％2BUJ0vPsmYAo2pd7RzbJDdK5uV2UAlKN％2F9％2BXEecNhsee18％2B8kyJQsmi4f84CS％2F％2F％2FM1n％2FzbG4lVy3I2kueSOC47ZdL4Q5lyPFScWpneBUaCbmRkjXuujPlEMzrD6D0tN3WxIC5％2BEL％2FB ％2BbGTenMtyWn％2FpWiwN0qxmT3BsOXpssb80QePqTOrhmW7xlncVEXP％2F4OVMQCgrsWB8hvhtpjEFyYgqjyANHFbon52wD3EtKldJlbnuu1NYlZ71％2FPgo3XVclIBI％2Fzd5％2BE7cVuACztb1bs0LhaI6kTPlxYkJtaW5Wii％2BmC1uQJjapWbrpNqNEyDOQ61zZcSoLxdaAyFGqoOjGhzaBmpb05％2Fq9w1tU820H6X66q％2BTvWe0K3i0bMzh5ShO％2BbFPiO33kUJWoQ1be1MtwNcbqP％2BF％2Fbq2Nw2bKdwQqgICGVHJplkU3xA5ThKSQT1hJey8Jx％2BD2TEXgCfXr5kQw0q％2Bb8AU67AFQ％2FQNs6lrljhE4 LkNaaAQAhqCjoSwcWHlK1％2FFrt9ER％2BossgzThzZLBIrk9I2n85c31p8srSf％2B5taopryccPyej％2BBBivxNzf55Hb1GPyRHTvWK9rOu1NDK2i6taWmGVkFg0LFtV7cIn6rkVgY9n4HbV2OqiYtYYkJtOucckr85bBorf2ht9nDgowV3xW％2FbysM0bhci5quxja％2BPiFspVuOcT8K5C％2FbsJmNJUthlF4cDt3％2F3yYTedzCOS3tPpEqhJUvVdTgAtxHReEdKtwLqykF8whe9UNrh8kMhjZAhX11xLXIBFkGvrtRg7d44N5w％3D％3D＆X-AMZ-アルゴリズム= AWS4-HMAC-SHA256＆X-AMZ-日= 20191228T053528Z＆X-AMZ-SignedHeaders=ホスト＆X-AMZ-期限= 300＆X- AMZ-資格= ASIAQ3PHCVTY7QJTPKEY％2F20191228％2Fus東1％2Fs3％2Faws4_request＆X-AMZ-シグネチャー= b284d0894d667526825bf7e3889872342ac77e8a77781b90c4366657e41bf00a＆ハッシュ= 605d16ea472380a45be768826abc955bf15a2f1963b7a99de92079523c9f7cc4＆ホスト= 68042c943591013ac2b2430a89b270f6af2c76d8dfd086a07176afe7c76c2c61＆PII= S0022000001917647＆TID= SPDF-fcd0d4b9-3212-4e49-b28a-93e30e070b08＆SID= 11cdf7253e2ea1402649b533c40364c7604fgxrqb＆タイプ=クライアント "REL=" nofollowをNOREFERRER ">リンク

$ \ textbf {cgm} $

$ \ textbf {input：} $ グループ $ g $ のCayley Table、< SPAN CLASS="Math-Container"> $ X \ SubSeteq G $ と。

$ \ textbf {output：} $ は $ t $ がサブグループ $ \ langle x \ rangle $ $ x $ ？

一般的な問題は対称ログスペースです。

---

$ \ langle a \ rangle $ は、 $ a $

によって生成されたサブグループを意味します。