خوارزمية التقريب سؤال، التجميع على نقاط N

Question

p>

لذلك فإن الخوارزمية التي فكرت فيها، هي التكرار من خلال نقاط N، وتمركز كرة في كل نقطة، وتتبع النقطة التي تركزنا فيها على أن معظم النقاط.ثم قم بإزالة النقاط المضغوطة من هذه الكرة القصوى التي وجدناها، ثم تكرر من خلال كل النقاط مرة أخرى.استمر حتى لم تعد هناك أي نقاط غير مغلفة.إرجاع جميع المراكز التي وجدناها.

لست متأكدا مما إذا كانت هذه الخوارزمية صحيحة.O (1) خوارزمية التقريب هي من حيث O ( $ \ frac {\ delta_ {ours}} {\ delta} $ ).الشرط عبارة عن خوارزمية متعددة الحدود، والتي أعتقد أن الألغام هي في ترتيب $ n ^ {2} $ .

أنا أيضا لست متأكدا من كيفية إثبات صحة خوارزمية تقريبية أيضا.

Answer 1

هناك خوارزمية أكثر بساطة، خوارزمية الجشع. هذه الخوارزمية تكرر من خلال النقاط في بعض النظام. في البداية مجموعة المراكز فارغة. عندما يتم الوصول إلى نقطة نقطة $ P $ ، إذا كانت $ P $ هي ضمن المسافة $ 2 \ Delta $ من أحد المراكز المختارة، ثم لا نفعل شيئا. خلاف ذلك، نضيف $ P $ إلى مجموعة المراكز. التنفيذ السذاجة لهذه الخوارزمية تعمل في الوقت المناسب $ O (KN) $ ، وهو متعدد الحدود.

لماذا هذا العمل؟ افترض أن الكرات في دائرة نصف قطرها $ \ delta $ تركز في النقاط $ p_ {i_1}، \ ldots، p_ {i_k} $ قم بتغطية المجموعة بأكملها، ونفترض أن الخوارزمية أعلاه قد حددت نقاطا مختارة $ p_ {j_1}، \ Ldots، p_ {j_k} $ . علينا أن نظهر أن كل نقطة في المجموعة هي ضمن المسافة $ 2 \ Delta $ من هذه النقاط.

لنقطة $ p $ ، دع $ c (p) $ تشير إلى النقطة بين < Span Class="حاوية الرياضيات"> $ p_ {{i_1}، \ Ldots، p_ {i_k} $ وهو الأقرب إلى $ P $ . أدعي ذلك $ c (p_ {j_a}) \ neq c (p_ {j_b}) $ for $ a \ neq ب $ . في الواقع، حسب البناء $ \ | p_ {j_b} \ {j_b} \ | > 2 \ دلتا $ . ولكن إذا $ c (p_ {{j_a})= c (p_ {{j_b})= q $ ، ثم $ \ | P_ {j_a} -p_ {j_b} \ | \ leq \ | p_ {j_a} -q \ | + \ | Q-P_ {J_B} \ | \ leq 2 \ دلتا $ .

resumber النقاط بحيث $ c (p_ {j_a})= p_ {{i_a} $ ، والنظر في نقطة تعسفية $ P $ في المجموعة. افترض أن $ c (p)= p_ {i_a} $ . ثم $ \ | p-p-p-{j_a} \ | \ leq \ | p-p_ {i_a} \ | + \ | p_ {i_a} -p_ {j_a} \ | \ leq 2 \ دلتا $ .