Вопрос алгоритма приближения, кластеризация на N очках

Question

Таким образом, алгоритм, о котором я о котором я о том, чтобы повторить через N очки, центрирует мяч в каждой точке, и отслеживать точку зрения, где мы сосредоточены, что инкапсулировали большинство моментов.Затем удалите инкапсулированные точки от этого максимального шара, который мы нашли, затем повторяют все точки снова.Продолжайте до тех пор, пока больше не будет никаких точек, а не инкапсулированных.Верните все центры, которые мы нашли.

Я не уверен, правильный ли этот алгоритм.O (1) Алгоритм аппроксимации находится с точки зрения O ( $ \ frac {\ delta_ {наших}} {\ delta} $ ).Требование представляет собой полиномийный алгоритм, который, по которому я верю, что мой порядок $ n ^ {2} $ .

Я тоже не уверен, как доказать правильность алгоритма аппроксимации.

Answer 1

Есть еще проще прощественный алгоритм, жадный алгоритм. Этот алгоритм итерации по точкам в некотором смысле. Первоначально набор центров пусты. Когда точка $ p $ достигается, если $ p $ находится на расстоянии, на расстоянии $ 2 \ delta $ одной из выбранных центров, то мы ничего не делаем. В противном случае мы добавляем $ P $ набор центров. Наивная реализация этого алгоритма проходит во времени $ O (Kn) $ , который является полиномиальным.

Почему эта работа? Предположим, что шарики на Radius $ \ delta $ сосредоточены в пунктах $ p_ {i_1}, \ ldots, p_ {i_k} $ Накройте весь набор и предположим, что алгоритм выше, выбрал точки $ P_ {j_1}, \ ldots, p_ {j_k} $ . Мы должны показать, что каждая точка в наборе находится на расстоянии $ 2 \ Delta $

Для точки $ p $ , пусть $ C (P) $ Обозначим точку между < Spaness Class= «Математический контейнер»> $ p_ {i_1}, \ ldots, p_ {i_k} $ который наиболее близок к $ p $ . Я утверждаю, что $ C (p_ {j_a}) \ neq c (p_ {j_b}) $ для $ a \ neq B $ . Действительно, по конструкции $ \ | P_ {j_a} -p_ {j_b} \ | > 2 \ delta $ . Но если $ C (P_ {j_a})= c (p_ {j_b})= q $ , то $ \ | p_ {j_a} -p_ {j_b} \ | \ leq \ | p_ {j_a} -q \ | + \ | q-p_ {j_b} \ | \ leq 2 \ delta $ .

Сотомитель по точкам, так что $ c (p_ {j_a})= p_ {i_a} $ и рассмотрим произвольную точку $ p $ в комплекте. Предположим, что $ C (p)= p_ {i_a} $ . Тогда $ \ | p-p_ {j_a} \ | \ leq \ | p-p_ {i_a} \ | + \ | p_ {i_a} -p_ {j_a} \ | \ leq 2 \ delta $ .