近似アルゴリズムの質問、N点のクラスタリング

Question

だから私が考えたアルゴリズムは、各点でボールを中心とし、そしてそれを中心としたポイントのトラックをほとんどのポイントにした位置を追跡することです。次に、私たちが見つけたこの最大ボールからカプセル化されたポイントを取り出し、次にすべてのポイントを再び反復します。カプセル化されていないポイントがなくなるまで続けます。私たちが見つけたすべてのセンターを返します。

このアルゴリズムが正しいかどうかはかなりありません。o（1）近似アルゴリズムはOの点で（ $ \ frac {\ delta_ {}}} {}} {\ delta_} $} $}要件は多項式アルゴリズムであり、私は私のものがspan class="math-container"> $ n ^ {2} $ の順序にあると私は信じています。

近似アルゴリズムの正当性を証明する方法もよくありません。

Answer 1

さらに単純なアルゴリズム、貪欲なアルゴリズムがあります。このアルゴリズムはポイントをいくつか順番に反復します。最初は中心のセットが空です。 point $ p $ に達すると、 $ p $ が距離 $ 2 \ delta $ は何もしません。それ以外の場合は、 $ p $ をセットに追加します。このアルゴリズムの素朴な実装は、多項式である $ O（kn）$ で実行されます。

なぜこれはうまくいくのですか？ $ p_ {i_1}、\ ldots、p_ {i_k}のradius $ \ delta $ でボールがあるとします。 $ セット全体をカバーし、上記のアルゴリズムがポイント $ p_ {j_1}、\ ldots、p_ {j_k} $ であるとします。セット内のすべての点が距離 $ 2 \ delta $ の範囲内であることを示す必要があります。

Point $ p $ 、 $ c（p）$ を表す< SPAN CLASS="math-container"> $ p_ {i_1}、\ ldots、p_ {i_k} $ {i_k} $ {i_k} $ は $ p $ に最も近いです。 $ a \ neqの $ c（p_ {j_b}）$ B $ 。確かに、構造によって $ \ | p_ {j_a} -p_ {j_b} \ | > 2 \ delta $ 。ただし、 $ c（p_ {j_a}）= c（p_ {j_b}）= q $ 、次に $ \ | p_ {j_a} -p_ {j_b} \ | \ LEQ \ | p_ {j_a} -q \ | + \ | Q-P_ {j_b} \ | \ LEQ 2 \ delta $ 。

$ c（p_ {j_a}）= p_ {i_a} $ {i_a} $ {i_a} $ {i_a} $ {i_a} $ を参照して、任意のポイント $ p $ 。 $ c（p）= p_ {i_a} $ であるとします。その後 $ \ | p-p_ {j_a} \ | \ LEQ \ | p-p_ {i_a} \ | + \ | p_ {i_a} -p_ {j_a} \ | \ LEQ 2 \ delta $ 。