متوسع جار فريد من نوعه

Question

أريد حل المشكلة 4.10 من العشوائية عن طريق Salil Vadhan. https:/people.seas.harvard.edu/~salil/CS225 / Spring15 / ps3.pdf

النظر في المتوسع الذهبيين $ G $ مع درجة اليسار $ d $ بحيث كل مجموعة فرعية $ S $ من القمم اليسرى مع على الأكثر $ k $ لدى القمم على الأقل $ (1- \ Epsilon) D | S | $ الجيران.ثم $ G $ لديه أيضا الخاصية التي لديها $ (1-2 \ Epsilon) D | S | $ جيران فريد من نوعه.معنى فريد من نوعه أنه يحتوي على قمة واحدة بالضبط من $ S $ .

أنا أدرك أن عامل التوسع الجديد هو $ (1-2 \ Epsilon) D= 2 \ CDOT (1- \ Epsilon) D -D $

Answer 1

دع $ s $ تكون مجموعة فرعية من الأكثر دفعة $ K $ الرأس. دع $ A_D $ يكون عدد الرأس على الجانب الأيمن المتصل بالضبط $ D $ في $ S $ . نظرا لأن الدرجة اليسرى هي $ D $ ، $$ \ sum_ {d \ geq 1} da_d= d | s |. $ منذ $ s $ لديه على الأقل $ (1- \ Epsilon) D | S | $ الجيران، $$ \ sum_ {d \ geq 1} a_d \ geq (1- \ epsilon) D | S |. $ لذلك $$ \ sum_ {d \ geq 2} a_d \ leq \ sum_ {d \ geq 1} (d-1) a_d=sum_ {d \ geq 1} da_d - \ sum_ {d \ geq 1} a_d \ leq d | s | - (1- \ Epsilon) D | S |=Epsilon D | S |. $ إنه يتبع هذا $$ a_1=sum_ {d \ geq 1} a_d - \ sum_ {d \ geq 2} a_d \ geq (1- \ epsilon) D | S | - \ Epsilon D | S |= (1-2 \ Epsilon) D | S |.