独特邻居扩展器

Question

我想解决问题4.10从Salil Vadhan随机性。 https://people.seas.harvard.edu/~salil/CS225 / Spring15 / PS3.PDF

考虑两分延期范围 $ g $ ，带左侧 $ d $ 使每个子集 $ S $ 具有大多数 $ K $ 顶点至少具有<跨度类=“Math-容器“> $（1- \ epsilon）d | s | $ 邻居。然后 $ g $ 也有它具有 $（1-2 \ epsilon）d | s | $ 独特的邻居。独特的含义，它恰好来自 $ s $ 。

我认识到新的扩展因子是 $（1-2 \ epsilon）d= 2 \ cdot（1- \ epsilon）d -d $

Answer 1

let $ s $ 是大多数 $ k $ 顶点的子集。让 $ a_d $ 是右侧的顶点数，它们连接到完全 $ d $ 顶点在 $ s $ 中。由于左侧度是 $ d $ ， $$ \ sum_ {d \ geq 1} da_d= d | s |。 $$ 由于 $ S $ 至少具有 $（1- \ epsilon）d | s | $ 邻居， $$ \ sum_ {d \ geq 1} a_d \ geq（1- \ epsilon）d | s |。 $$ 所以 $$ \ sum_ {d \ geq 2} a_d \ leq \ sum_ {d \ geq 1}（d-1）a_d=sum_ {d \ geq 1} da_d - \ sum_ {d \ geq 1} a_d \ leq d | s | - （1-ε）d | s |=epsilon d | s |。 $$ 它遵循 $$ a_1=sum_ {d \ geq 1} a_d - \ sum_ {d \ geq 2} a_d \ geq（1- \ epsilon）d | s | - \ epsilon d | s |=（1-2 \ epsilon）d | s |。 $$