독특한 이웃 확장기

Question

나는 Salil Vadhan의 무작위 성에서 문제를 해결하고 싶습니다. https://people.seas.harvard.edu/~salil/CS225 / Spring15 / PS3.PDF

BipArtite Expander $ G $ $ D $ 이므로 모든 하위 집합 <스팬대부분의 $ k $ 정점이있는 왼쪽 정점의 클래스="수학 컨테이너"> $ $ (1- 엡실론) D | S | $ 이웃들.그런 다음 $ G $ 은 $ (1-2 \ epsilon) D | $ 고유 한 이웃들. $ s $ 에서 정확히 하나의 해당 버텍스가있는 것을 의미합니다.

새로운 확장 계수가 $ (1-2 ε) D= 2 \ CDOT (1- 엡실론) D -D $

Answer 1

$ s $ 대부분의 $ k $ 정점의 하위 집합이되도록합니다. $ a_d $ 정확히 $ d $ 정점 $ s $ . 왼쪽도가 $ D $ 이기 때문에, $$ \ sum_ {d \ geq 1} da_d= d | s | $$ $ S $ 은 적어도 $ (1- 엡실론) D | $ 이웃, $$ \ sum_ {d \ geq 1} A_D \ GEQ (1- \ 엡실론) D | s | $$ 따라서 $$ \ sum_ {d \ geq 2} A_D \ Leq \ Sum_ {d \ geq 1} (d-1) a_d=sum_ {d \ geq 1} da_d - \ sum_ {d \ geq 1} A_D \ Leq D | S | - (1- 엡실론) D | S |=엡실론 D | s | $$ 그것은 이어진다 $$ A_1=sum_ {d \ geq 1} a_d - \ sum_ {d \ geq 2} a_d \ geq (1- \ 엡실론) D | - \ 엡실론 D | S |= (1-2 엡실론) D | s | $$