وجود / عدم وجود تسلسل قصيرة أطول زيادة subsequence وخفض subsequence?

Question

يمكن أن توجد أي عدد صحيح تسلسل $A$ من طول $N$ مع كل عناصر فريدة من نوعها مثل أن طول أطول زيادة Subsequence فضلا عن أن أطول تناقص Subsequence أقل من $ \displaystyle \lfloor \فارك{ن}{2} floor $?

إذا كان الجواب نعم, ثم أعط مثالا من هذا التسلسل.وإلا يمكن لأي شخص أن يقدم دليلا على أن هناك لا يوجد مثل هذا الترتيب ؟

(فقط لإضافة بعض المواد يمكن أن تظهر هناك يمكن أن توجد مثل هذه متواليات ، أي التعسفي قيمة $ N > 1 $?)

Answer 1

الإجابة على سؤال OP هو، لا في حالة $ n \ le 7 $ و نعم خلاف ذلك.

---

لأي إعطاء أي عدد صحيح إيجابي $ r $ و $ S $ ، نظرية erdős-szekeres المشهورة يظهر ذلك لأي سلسلة من الأرقام الحقيقية المميزة على الأقل $ (r - 1) (s - 1) + 1 $ يحتوي على زيادة لاحقا بطول $ r $ < / span> أو انخفاض لاحق الطول $ S $ .

اتضح أن هذا المقيد، $ (R-1) (S-1) +1 $ ضيق. وهذا هو، لأي رقم إيجابي $ r $ و $ S $ ، هناك تسلسل من الأعداد المميزة مع طول $ (r-1) (s-1) $ لا يحتوي على أي زيادة لاحقا بطول $ r $ وليس انخفاض لاحق الطول $ S $ .

هنا هو مثال.

$$ \ ادبت {array} {} & S-1، & S-2، & \ Cdots، & 2، & 1 \\ و 2 (S-1)، & (S-1) + S-2، & \ Cdots، و (S-1) + 2، و (S-1) + 1 \\ & \ VDOTS & \ VDOTS & \ VDOTS & \ VDOTS & \ VDOTS \\ & (R-2) (S-1)، & (R-3) (S-1) + S-2، & \ CDOTS، و (R-3) (S-1) +2، & (R- 3) (S-1) +1 \\ & (R-1) (S-1)، & (R-2) (S-1) + S-2، & \ CDOTS، & (R-2) (S-1) +2، و (R- 2) (S-1) +1 \\ \ End {array} $

النظر في الأرقام أعلاه، والقراءة من اليسار إلى اليمين ومن ثم من أعلى إلى أسفل. وبعبارة أخرى، فإن التسلسل هو $ S-1 $ أسفل إلى $ 1 $ ، تليها 2 (S-1) $ وصولا إلى $ (S-1) +1 $ ، إلخ وأعقبها < Span Class="حاوية الرياضيات"> $ (r-1) (s-1) $ وصولا إلى $ (r-2) (s-1) +1 $ ، الكل في خطوة $ 1 $ .

من السهل أن نرى أنه لا يوجد أي زيادة لاحق الطول r ولا تنقص لاحقا الطول $ S $ .

على سبيل المثال، عندما $ r= s= 5 $ ، لدينا $$ 4،3،2،1، \ \، 8،7،6،5، \ \، 11،11،10،9، \ \، 16،15،14،13 $ التي لا تتمتع بزيادة لاحق الطول 5 دولارات $ ولا تقليل لاحق الطول $ 5 $ .

---

إذا دعنا $ r= s $ ، فإن القسم أعلاه يعني أنه، لأي عدد إيجابي $ n $ < / span> موجود تسلسل عدد صحيح من الطول $ n $ مع جميع العناصر الفريدة بحيث يكون طول أطول فترة متزايدة في وقت لاحق وكذلك من أطول ناتج لاحق هو في معظم $ \ lceil \ sqrt n \ rceil $ . و $ \ lceil \ sqrt n \ rceil $ هو الحد الأقصى العلوي.

منذ $$ \ lceil \ sqrt n \ rceil \ rceil \ lfloor \ frac n2 \ rfloor \ \ text {for all} n \ € 7 $$ و $$ \ lceil \ sqrt n \ rceil \ lfloor \ frac n2 \ rfloor \ \ text {for all} n \ gt 7، $ الإجابة على سؤال OP هو، لا إذا $ N \ LE 7 $ و نعم خلاف ذلك.

على سبيل المثال، ل $ n= 8 $ ، لدينا تسلسل 3،2،1،6،5، 4،9،8،7 $ .

Answer 2

وهنا البناء مباشرة من هذا التسلسل لأي متعددة من أربعة.إنها تتكون من أربعة متساوية الحجم أشواط متتالية من الأعداد الصحيحة.

الأول والثالث يعمل في تزايد.الثاني والرابع يعمل في التناقص.أشواط استخدام نطاقات من هذه الارقام $R_2 < R_3 < R_1 < R_4$.على سبيل المثال ، $4n=16$,

$$ 9,10,11,12 |4,3,2,1|5,6,7,8|16, 15,14,13 $$

أطول زيادة subsequence هو طول $n+2$.على سبيل المثال ، في أعلاه حيث $4n=16$, أطول زيادة subsequence قد طول $6$ ($1| 5, 6, 7, 8|16$).لا زيادة subsequence أطول:

• لا يمكن اختيار عنصر من زيادة أشواط ، لأن أي عنصر في أول زيادة تشغيل يبطل كل منهم من الثانية زيادة المدى.
• لا يمكن اختيار أكثر من عنصر واحد من أي تناقص تشغيل

متماثل حجة على تناقص subsequences.

منذ $n+2 << 2n$, هذا يعمل بالدليل لأي متعددة من أربعة تسلسل.يمكنك بسهولة وسادة اضافية مع تسلسل عناصر غير متعددة من أربعة أطوال.

جئت عبر هذا البناء من خلال النظر في تسلسل التي كان "هيل" (تتزايد ثم تتناقص) التي تجتمع حالتك تماما.كسر تلك المسافات الطويلة يمكن القيام به لجعل اثنين من التلال (زيادة, خفض, زيادة, في التناقص) ، هذا التسلسل لا ضمان أعلى/أسفل المنحدر من واحد 'التل' ليس تابع الأخرى.

Answer 3

هناك أيضا تسلسل قصير تلبي طلبك. النظر في المثال أول 16 شروط من تسلسل فان دير فان دير $$ 0، 8، 4، 12، 2، 10، 6، 14، 1، 9، 5، 13، 3، 11، 7، 15. $$ بشكل عام، هناك تسلسل $ t $ الطول $ n \ geq1 $ يحتوي على أطول متزايدة لاحقاالطول $ x \ geq 1 $ وأطول انخفاض لاحق الطول $ y \ geq 1 $ إذا وفقط إذا كانت الأرقام $ x $ ، $ y $ و $ N $ إرضاء الظروف $ x \ cdot y \ geq n $ و $ x + y \ leqN + 1 $ ، راجع هنا .لاحظ أن المرجع يعطي دليلا بناء.

Answer 4

هذه التسلسلات موجودة.يكفي لتوليد تسلسل عشوائي كاف.إذا قمت بفحص كتاب Dan Romik، فإن الرياضيات المدهشة لأطول زيادة لاحقة ، تنص نظرية 1.1 على أنه

$$ \ frac {\ ell_n} {\ sqrt n} \ to 2، $

حيث $ \ ell_n $ هو طول متوقع لزيادة اللاحق في التقليب العشوائي الحجم $ n $ .نفس الشيء عن التناقص.لذلك، بالنسبة إلى مساحة كبيرة بما يكفي $ N $ يجب أن يوجد تسلسل مع كل من متزايد وتقليل تسلسل الأطوال على الأكثر دفعة $ 5 \ SQRTN $ ، وإلا:

$$ 2 E [\ ell_n]= e [| clys_n |+ | Incr_n |] \ GE 5 \ SQRT N، $

الذي يتناقض مع نظرية.