Existenz / Nicht-Existenz einer Sequenz mit kurzer längster zunehmender Ansprüche und abnehmender Ansprüche?

Question

kann vorhandene Ganzzahl-Sequenz $ A $ von Länge $ n $ mit allen einzigartigen Elementen solcherdass die Länge seiner längsten zunehmenden Ansprüche sowie die seiner längsten abnehmenden Ansprüchen weniger als $ \ displaystyle \ lfloor \ frac {n} {2} \ rfloor $

Wenn ja, dann geben Sie ein Beispiel einer solchen Reihenfolge an.Andernfalls kann jemand einen Beweis vorlegen, dass es keine solche Sequenz gibt?

(nur um etwas Substanz hinzuzufügen, kann es dort gezeigt werden, dass es solche Sequenzen gibt, gegebenenfalls beliebigen Wert von $ n> 1 $ )

Answer 1

Die Antwort auf die Frage des OPs ist, nein, wenn $ n \ le 7 $ und sonst ja.

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für jede positive Integer $ R $ und $ s $ , Der gefeierte Erdős-Szekeres theorem zeigt das für jede Reihenfolge verschiedener echter Nummern mit Länge Zumindest $ (R - 1) (S - 1) + 1 $ enthält eine zunehmende Annahme der Länge $ R $ < / span> oder eine abnehmende Ansprüche der Länge $ s $ .

Es stellt sich heraus, dass gebunden, $ (R-1) (S-1) +1 $ eng ist. Das heißt, für jede positive Anzahl $ r $ und $ s $ , gibt es eine Folge von unterschiedlichen Zahlen mit länge $ (R-1) (S-1) $ , die keine zunehmende Annahme der Länge $ R $ und keine abnehmende Ansprüche der Länge $ s $ .

hier ist ein solches Beispiel.

$$ \ begin {array} {} & s-1 & s-2 & \ cdoten & 2 & 1 \\ & 2 (S-1) & (S-1) + S-2 & \ CDs & (S-1) + 2, & (S-1) + 1 \\ & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ & (R-2) (S-1) & (R-3) (S-1) + S-2 & \ CDs, & (R-3) (S-1) +2, & (R- 3) (S-1) +1 \\ & (R-1) (S-1) & (R-2) (S-1) + S-2 & \ CDs, & (R-2) (S-1) +2, & (R- 2) (S-1) +1 \\ \ \ end {array} $$

Betrachten Sie die obigen Zahlen, lesen Sie von links nach rechts und dann von oben nach unten. Mit anderen Worten, die Sequenz ist $ S-1 $ bis $ 1 $ , gefolgt von $ 2 (S-1) $ bis $ (S-1) +1 $ usw. und schließlich gefolgt von < Span-Klasse="Math-Container"> $ (R-1) (S-1) $ bis $ (R-2) (S-1) +1 $ , alle in Schritt des $ 1 $ .

Es ist leicht zu sehen, dass es keine zunehmende Ansprüche der Länge R gibt, und keine Abnahme der Ansprüche der Länge $ s $ .

Beispielsweise, wenn $ R= S= 5 $ , haben wir $$ 4,3,2,1, \ \, 8,7,6,5, \ \, 12,11,10,9, \ \, 16,15,14,13 $$ Dies hat keine Erhöhung der Ansprüche der Länge $ 5 $ noch abnehmende Ansprüche der Länge $ 5 $ .

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Wenn wir $ r= s $ lassen, bedeutet der obige Abschnitt, dass für eine beliebige positive Zahl $ n $ < / span>, gibt es eine ganzzahlige Reihenfolge der Länge $ n $ mit allen einzigartigen Elementen, so dass die Länge seiner längsten zunehmenden Ansprüchen sowie der ihrer längsten abnehmenden Ansprüchen ist höchstens $ \ lceil \ sqrt n \ rceil $ . Und $ \ lceil \ sqrt n \ rceisil $ ist die enge obere Grenze.

seit $$ \ lceil \ sqrt n \ rceil \ ge \ lflor \ frac n2 \ rfloor \ \ text {für alle} n \ le 7 $$ und $$ \ lceil \ sqrt N \ RCEIL \ LT \ LFLOR \ FRAC N2 \ RFloor \ \ Text {für alle} n \ gt 7, $$ Die Antwort auf die Frage des OPs lautet, nein, wenn $ n \ le 7 $ und sonst ja.

Beispielsweise für $ n= 8 $ , wir haben Sequenz 3,2,1,6,5 $, 4,9,8,7 $ .

Answer 2

Hier ist ein direkter Aufbau einer solchen Reihenfolge für jedes Vielfache von vier. Es besteht aus vier gleichgroßen Läufen der aufeinanderfolgenden Ganzzahlen.

Die erste und dritte Läufe steigen. Die zweite und vierte Läufe verringern. Die Läufe verwenden Nummernbereiche, so dass $ R_2 . Zum Beispiel mit $ 4N= 16 $ ,

$$ 9,10,11,12 | 4,3,2,1 | 5,6,7,8 | 16, 15,14,13 $$

Die längste zunehmende Ansprüche ist die Länge $ n + 2 $ . Zum Beispiel, in dem oben, wo 4n= 16 $ , ist die längste zunehmende Ansprüche Länge $ 6 $ ( $ 1 | 5, 6, 7, 8 | 16 $ ). Keine zunehmende Ansprüche ist länger:

.
• Es ist nicht möglich, ein Element aus beiden zunehmenden Läufen auszuwählen, da jedes Element im ersten zunehmenden Lauf alle von dem zweiten zunehmenden Lauf disqualifiziert.
• Es ist nicht möglich, mehr als ein Element aus einem abnehmenden Lauf
auszuwählen

Ein symmetrisches Argument gilt für die abnehmenden Ansprüche.

Da $ n + 2 << 2n $ , funktioniert dies als Gegenexample für jede mehrfache Vier-Sequenz. Sie können problemlos mit extra Sequenzelementen für nicht mehrfache Längen aufladen.

Ich kam auf diese Konstruktion, indem ich eine Sequenz in Betracht ziehst, die ein "Hügel" war (zunehmender, dann abnehmend), der Ihren Zustand perfekt erfüllt. Aufbrechen dieser langen Läufe könnten getan werden, um zwei Hügel zu erstellen (zunehmend, abnehmend, zunehmend, abzunehmen), die diese Reihenfolge durch die Sicherstellung der Aufwärts- / Abwärtsneigung eines 'Hill' nicht von der anderen fortgesetzt wird.

Answer 3

Es gibt auch kurze Sequenzen, die Ihre Anfrage erfüllen. Betrachten Sie zum Beispiel die ersten 16 Begriffen der binären van der Corput-Sequenz $$ 0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15. $$ Im Allgemeinen gibt es eine Sequenz $ T $ von Länge $ n \ geq1 $ mit einer längsten zunehmenden Ansprüche vonLänge $ X \ GEQ 1 $ und eine längste abnehmende Ansprüche der Länge $ y \ geq 1 $ falls undNur wenn die Zahlen $ x $ , $ y $ und $ n $ Befriedigung der Bedingungen $ x \ cdot y \ geq n $ und $ x + y \ leqn + 1 $ , siehe hier .Beachten Sie, dass die Referenz einen konstruktiven Beweis ergibt.

Answer 4

Solche Sequenzen sind vorhanden.Es genügt, eine groß genug, zufällige Reihenfolge zu erzeugen.Wenn Sie das Buch von Dan Romiks überprüfen, die überraschende Mathematik der längsten zunehmenden Ansprüche , theorem 1.1 gibt an, dass

$$ \ frac {\ \ \ \ ell_n} {\ sqrt n} \ bis 2, $$

wobei $ \ ell_n $ eine erwartete Länge der zunehmenden Annahme in einer zufälligen Permutation der Größe $ n $ .Das gleiche zum Abnehmen.Daher muss für groß genug $ N $ eine Sequenz vorhanden sein, um sowohl zunehmende als auch abnehmende Längenfolgen in den meisten $ 5 \ sqrtn $ , sonst:

$$ 2 E [\ ell_n]= E [| decr_n |+ | Incr_n |] \ ge 5 \ sqrt n, $$

was dem Satz widerspricht.