짧고 가장 긴 증가하는 부분 수열과 감소하는 부분 수열을 갖는 수열의 존재/비존재?

Question

정수열이 존재할 수 있나요? $A$ 길이의 $N$ 가장 긴 증가 부분 수열과 가장 긴 감소 부분 수열의 길이가 다음과 같은 모든 고유 요소를 포함합니다. $ \displaystyle \lfloor \frac{N}{2} floor $?

그렇다면 그러한 순서의 예를 들어보십시오.그렇지 않으면 누구든지 그러한 시퀀스가 ​​존재할 수 없다는 증거를 제시할 수 있습니까?

(몇 가지 내용을 추가하자면 임의의 값이 주어지면 그러한 시퀀스가 ​​​​존재할 수 있다는 것을 보여줄 수 있습니까? $ N > 1 $?)

Answer 1

OP의 질문에 대한 대답은 '아니요'입니다. $N\le 7$ 그렇지 않으면 그렇습니다.

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주어진 양의 정수에 대해 $r$ 그리고 $s$, 유명한 에르되시-세케레스 정리 적어도 길이가 있는 별개의 실수 시퀀스에 대해 다음을 보여줍니다. $(r − 1)(s − 1) + 1$ 길이가 증가하는 부분 수열을 포함합니다. $r$ 또는 길이가 감소하는 부분 수열 $s$.

그 경계가 밝혀졌습니다. $(r-1)(s-1)+1$ 빡빡해요.즉, 임의의 양수에 대해 $r$ 그리고 $s$, 길이가 다른 일련의 고유한 숫자가 있습니다. $(r-1)(s-1)$ 길이가 증가하는 부분 수열을 포함하지 않는 것 $r$ 길이의 감소하는 부분 수열은 없습니다. $s$.

여기에 그러한 예가 있습니다.

$$ begin {array} {} & s-1, & s-2, & cdots, & 2, & 1 & 2 (s-1), & (s-1)+ s-2, & cdots, & ( S-1)+ 2, & (s-1)+ 1 & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & (r-2) (s-1), & (R- 3) (S-1)+S-2, & CDOTS, & (R-3) (S-1) +2, & (R-3) (S-1) +1 & (R-1 ) (S-1), & (R-2) (S-1)+S-2, & CDOTS, & (R-2) (S-1) +2, & (R-2) (S- 1) +1 end {array} $$

위의 숫자를 왼쪽에서 오른쪽으로 읽은 다음 위에서 아래로 읽으세요.즉, 순서는 다음과 같습니다. $s-1$ 아래로 $1$, 이어서 $2(s-1)$ 아래로 $(s-1)+1$, 등 그리고 마지막으로 $(r-1)(s-1)$ 아래로 $(r-2)(s-1)+1$, 모두 다음 단계에 있습니다. $1$.

길이 r의 증가하는 부분 수열과 길이의 감소하는 부분 수열이 없다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. $s$.

예를 들어, $r=s=5$, 우리는 $$4,3,2,1,\ \, 8,7,6,5,\ \,12,11,10,9,\ \,16,15,14,13$$길이가 증가하는 부분 수열을 갖지 않는 것 $5$ 길이의 하위 시퀀스도 감소하지 않습니다. $5$.

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우리가 놔두면 $r=s$, 위 섹션은 양수에 대해 다음을 의미합니다. $N$, 길이가 정수인 시퀀스가 ​​존재합니다. $N$ 가장 긴 증가 부분 수열과 가장 긴 감소 부분 수열의 길이가 최대인 모든 고유 요소를 포함합니다. $\lceil\sqrt N ceil$.그리고 $\lceil\sqrt N ceil$ 엄격한 상한선입니다.

부터 $$\lceil\sqrt N ceil\ge \lfloor\frac N2 floor\ ext{ 전체 } N\le 7$$ 그리고 $$\lceil\sqrt N ceil\lt \lfloor\frac N2 floor\ ext{ 전체 } N\gt 7,$$OP의 질문에 대한 대답은 '아니요'입니다. $N\le 7$ 그렇지 않으면 그렇습니다.

예를 들어, $N=8$, 우리는 시퀀스를 가지고 있습니다 $3,2,1,6,5,4,9,8,7$.

Answer 2

여기서 4의 여러 배수에 대한 이러한 서열을 직접 구축합니다. 그것은 4 개의 똑같이 크기의 연속적인 정수의 런 런으로 구성됩니다.

첫 번째 및 세 번째 실행이 증가하고 있습니다. 두 번째와 네 번째 실행이 감소하고 있습니다. 실행은 $ r_2 과 같은 숫자 범위를 사용합니다. 예를 들어 $ 4n= 16 $ ,

$$ 9,10,11,12 | 4,3,2,1 | 5,6,7,8 | 16, 15,14,13. $$

가장 긴 증가한 서브 퀀스는 길이 $ n + 2 $ 입니다. 예를 들어, $ 4n= 16 $ 의 가장 긴 증가 된 서브 시퀀스는 길이 $ 6 $ ( $ 1 | 5, 6, 7, 8 | 16 $ ). 증가하는 서브 퀀스가 더 길지 않습니다 :

• 첫 번째 증가하는 실행의 요소가 두 번째 증가하는 실행에서 모든 요소가 모두 증가하는 런치로 인해 요소를 선택할 수 없습니다.
• 감소
에서 하나 이상의 요소를 선택할 수 없습니다.

대칭 인수는 감소하는 서브 시퀀스에 적용됩니다.

$ n + 2 << 2N $ 이기 때문에 이것은 여러 개의 4 시퀀스의 경우 반대 샘플로 작동합니다. 여러 개의 4 개의 길이를 위해 추가 시퀀스 요소로 쉽게 패드 할 수 있습니다.

나는 당신의 상태를 완벽하게 만나는 "언덕"(증가, 감소)이었던 서열을 고려 하여이 공사를 개발했습니다. 긴 달리기를 깨뜨릴 수 있습니다 (증가, 감소, 증가, 감소).이 시퀀스는 한 '언덕의 상승 기울기가 다른 것에 의해 계속되지 않도록합니다.

Answer 3

요청을 만족시키는 짧은 시퀀스도 있습니다. 예를 들어 첫 번째 16 개의 이진 van der Corput 시퀀스의 첫 번째 16 조건을 고려하십시오. $$ 0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15. $$ 일반적으로 $ T $ 길이 $ n \ geq1 $ 의 가장 긴 증가한 서브 시퀀스가 포함 된길이 $ x \ geq 1 $ 길이 $ y \ geq 1 $ $ x $ , $ y $ 및 조건 $ x \ cdot y \ geq n $ 및 $ x + y \ leqn + 1 $ , 를 참조하십시오.참조가 건설적인 증거를 제공합니다.

Answer 4

그러한 서열이 존재한다.그것은 충분히 큰 무작위 순서를 생성하는 것으로 충분합니다.Dan Romik의 책을 확인하면 가장 긴 증가한 서브 시퀀스의 놀라운 수학 , 이론 1.1이

$$ \ FRAC {\ ell_n} {\ sqrt n} \ to 2, $$

여기서 $ \ ell_n $ 은 크기 $ n $ 감소를 위해 동일합니다.따라서 충분히 큰 $ n $ 대부분의 $ 5 \ sqrt에서 길이가 증가하고 감소하는 시퀀스가 있어야합니다.n $ , 그렇지 않은 경우 :

$$ 2 E [\ ell_n]= E [|+ | kr_n |] \ ge 5 \ sqrt n, $$

이론과 모순됩니다.