最長のサブシーケンスを短くし、続きを減少させるシーケンスの存在/非存在

Question

長さ $ a $ の任意の任意のユニークな要素を持つ$ a $ が存在します。その最長の増加の長さの長さの長さとその最長の低下の部分列の長さは $ \ displaystyle \ lfloor \ frac {n} {2} \ rfrooor $ です。

YESの場合は、そのようなシーケンスの例を示します。それ以外の場合は、そのようなシーケンスが存在できないという証明を誰かに提示できますか？

（いくつかの物質を追加するために、そのようなシーケンスが存在する可能性があります。 $ n> 1 $ ？）

の任意の値があります。

Answer 1

OPの質問への回答は、 $ n \ le 7 $ の場合はnoとそうです。

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任意の正の整数 $ r $ と $ s $ 、祝いのあるErdıs-Szekeres Theorem 長さのある異なる実数の順序について少なくとも $（r - 1）（s - 1）+ 1 $ の長さのサブシーケンスが増えている $ r $ < / SPAN>または長さの短縮 $ s $ 。

バインドされ、 $（r-1）（s-1）+ 1 $ がタイトです。つまり、正数 $ R $ 、 $ s $ の場合、一連の異なる数字があります。長さ $（r-1）（s-1）（s-1）（s-1）$ の長さのサブシーケンスが含まれていない $ r $ 長さの低下の低下 $ s $ 。

はそのような例です。

$$ \ begin {array} {} ＆S-1、＆S-2、＆2、＆2、＆1 \\ ＆2（S-1）、＆（S-1）+ S-2、＆¥Cdots、＆（S-1）+ 2、＆（S-1）+ 1 \\ ＆\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ vdots \\ ＆（R-2）（S-1）、＆（R-3）（S-1）+ S-2、＆¥Cdots、＆（R-3）（S-1）+ 2、＆（R- 3）（S-1）+ 1 \\ ＆（R-1）（S-1）、＆（R-2）（S-1）（S-1）+ S-2、＆Cdots、＆（R-2）（S-1）+ 2、＆（R- 2）（S-1）+ 1 \\ \ end {array} $$

上記の数字を検討し、左から右へ、そして上から下へから読みます。言い換えれば、シーケンスは $ s-1 $ から $ 1 $ 、続いて $ 2（s-1）$ $（s-1）+1 $ など、そして最後に続く< SPAN CLASS="数学コンテナ"> $（R-1）（S-1）（S-1）$ $（R-2）（S-1）+ 1 $ 、 $ 1 $ 。

長さRのサブシーケンスが増加していないこと、および長さのサブシーケンスの低下はなく、 $ s $ 。

例えば、 $ R= s= 5 $ の場合、 $$ 4,3,2,1、 \ \、8,7,6,5、\ \、12,11,10,9、\ \、16,15,14,13 $$ これは、長さのサンピース="math-container"> $ 5 $ 、長さ $ 5 $ のプロセスの減少も除去されません。

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$ r= s $ をleleさせた場合、正数 $ n $ < / SPAN>、長さ $ n $ の整数シーケンスがあり、最長の最長の要素の長さとその最長の低下のプロセスの長さと同様に $ \ lceil \ sqrt n \ rceil $ です。 $ \ lceil \ sqrt n \ rceil $ はタイトな上限です。

$$ \ lceil \ sqrt n \ rceil \ le \ lfloor \ frac n2 \ rfloor \ \ text {for for} n \ le 7 $$ $$ \ lceil \ sqrt n \ rceil \ frac n2 \ rfloor \ \ text {for for for} n \ gt 7、$$ OPの質問に対する答えは、 $ n \ le 7 $ の場合はno、そうでなければそうです。

たとえば、 $ n= 8 $ の場合、シーケンス $ 3,2,1,6,5があります。 4,9,8,7 $ 。

Answer 2

これは、4つの任意の任意の任意のシーケンスの直接構成です。それは連続した整数の4つの均等サイズの実行で構成されています。

最初と3回目のランが増えています。 2回目と4回目のランは減少しています。実行は、 $ R_2 に使用する数の数値を使用します。たとえば、 $ 4n= 16 $ 、

$$ 9,10,11,12 | 4,3,2,1 | 5,6,7,8 | 16,15,14,13 $$

最長のサブシーケンスは長さ $ n + 2 $ です。たとえば、 $ 4n= 16 $ の上記では、最長のサブシーケンスには長さ $ 6 $ があります。 $ 1 | 5,6,7,8 | 16 $ ）。サブシーケンスの増加は長い：

• 初回増加した実行の要素は、2回目の増加した実行からそれらの全てを解約するため、増加した実行から要素を選択することはできません。
• 実行実行
から複数の要素を選ぶことはできません。

対称引数は、部分配列を減らすために適用されます。

$ n + 2 << 2N $ 以降、これは1/4のシーケンスのCounterexampleとして機能します。あなたは簡単に4つの長さでない長さのための追加のシーケンス要素を簡単にパッドすることができます。

私は、「丘」（増加してから減少する）であるシーケンスを考えることによってこの建設に渡ってきました。これらの長いランを分割することは、2つの丘（増加、減少、増加、減少）を作ることができます。このシーケンスは、1つの「丘」の上下勾配を継続していません。

Answer 3

あなたの要求を満たす短いシーケンスもあります。 例えばバイナリファンDer Corputシーケンスの最初の16項を考慮してください。 $$ 0,8,4,12,2,10,6,14,1,9,5,13,3,11,7,15. $$ 一般に、span class="math-container"> $ t $ が存在する $ n \ geq1 $ の最長のサブシーケンスを含む$ n \ geq1 $ です。長さ $ x \ geq 1 $ x \ geq 1 $ 、長さ $ y \ geq 1 $ の最長の減少番号 $ x $ 、 $ y $ 、の場合のみ$ n $ 条件を満足させる $ x \ cdot y \ geq n $ と、ここ。参照が建設的な証明を与えることに注意してください。

Answer 4

そのような配列が存在する。十分に大きなランダムなシーケンスを生成するのに十分です。Dan Romikの本をチェックする場合は、 最長の最長整列の驚くべき数学 、定理1.1は

$$ \ frac {\ eell_n} {\ sqrt n} \ 2、$$

ここで、 $ \ ell_n $ は、サイズのランダムな順列でのサブシーケンスの長さの長さの長さです。 $ n $ 。減少するのは同じです。したがって、十分な大きさの $ n $ の両方が、ほとんどの $ 5 \ sqrtの長さのシーケンスと減少の両方のシーケンスが存在している必要があります。n $ 、それ以外の場合：

$$ 2e [\ ell_n]= e [| red_n |+ | Incre_n | \ GE 5 \ SQRT N、$$

定理と矛盾します。