تبين أن عدم المساواة تحمل لجميع الأعداد الصحيحة الإيجابية

Question

$ a_1= 2، a_2= 9، a_n= 2a_ {n-1} {{n-2} $ for $ n>= 3 $

عرض $ a_n <3 ^ n $ لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n

قاعدة قاعدة: $ a_3= 2 * 9 + 3 * 2= 24 <= 3 ^ 3 $ صحيح

الفرضية: $ a_k <= 3 ^ k $ for $ k \ epsilon \ mathbb {n} $ ، عرض $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $

ابدأ:

$ a_k <= 3 ^ k $ يعني $ 3A_K <= 3 ^ {k + 1} $

بحكم التعريف: $ a_ {k + 1}= 2A_K + 3A_ {K-1} $

$ 2A_K + 3A_ {k-1} <= 2A_K + A_K= 3A_K <= 3 ^ {k + 1} $

بسبب $ 3A_ {k-1}= 2A_ {k-1} + a_ {k-1}= 2A_ {k-1} + 2A_ {k-2} 3A_ {K-3} $

ستكون $ 3A_ {K-1} $ أصغر من $ a_k $ بسبب $ 2A_ {k-2} + {k-3} $ هو دائما أصغر من $ 3A_ {k-2} $ < / span>

لذلك لأن $ a_ {k + 1} <= 3A_K $ و $ 3A_K <= 3 ^ {k + 1} $ ثم $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $ والتي تثبت $ a_n <= 3 ^ n $ للجميع n

هل بلدي دليل شرعي؟

Answer 1

لن نثبت أن $ a_k \ geq 3a_ {k-1} $ لأنه غير صحيح: $$ A_3= 2A_2 + 3A_1= 2 \ CDOT 9 + 3 \ CDOT 2= 24 <3 \ CDOT 9= 3A_2 $$

---

ليس لدينا أيضا $ a_k <3 ^ k $ لجميع $ k $ ، منذ $ a_2= 9= 3 ^ 2 $ . ربما تكون مطبعي.

---

دعونا نثبت، عن طريق الحث، أن كل شيء طبيعي $ k $ لدينا $ a_k \ leq 3 ^ k $ .

لدينا هذا $ a_1= 2 \ leq 3= 3 ^ 1 $ .

افترض أن $ a_ {k-2} \ q {k-2} $ and $ a_ { K-1} \ leq 3 ^ {k-1} $ . أو يمكنك افتراض أن $ a_t \ leq 3 ^ t $ لجميع $ t . < / ص>

ثم $$ \ ابدأ {align} a_k &= 2A_ {k-1} + 3A_ {k-2} \\ & \ leq 2 \ cdot 3 ^ {k-1} +3 \ cdot 3 ^ {k-2} \\ &= 3 \ cdot 3 ^ {k-1} \\ &= 3 ^ {k} \ نهاية {محاذاة} $

لذلك، $ a_ {k} \ leq 3 ^ {k} $ .

بواسطة Induction، لجميع $ K $ لدينا هذا $ a_ {k} \ leq 3 ^ k $ .