不等式がすべての正の整数に保持されていることを示します

Question

$ a_1= 2、a_2= 9、a_n= 2a_ {n-1} {n-1} {n-2}} $ for $ n>= 3 $

show $ A_n <3 ^ n $ はすべての正の整数です.n

ベースケース： $ A_3= 2 * 9 + 3 * 2= 24 <= 3 ^ 3 $ はtrue

です。

仮説： $ a_k <= 3 ^ k $ for $ k \ epsilon \ mathbb {n} $ 、show $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $

始める：

$ A_K <= 3 ^ k $ は $ 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $

定義： $ a_ {k + 1}= 2a_k + 3a_ {k-1} $

$ 2a_k + 3a_ {K-1} <= 2a_k + A_k= 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $

$ 3A_ {K-1} + A_ {K-1}= 2A_ {K-1} + 2A_ {K-2} + 3a_ {K-3} $

$ 3a_ {k-1} $ は常に $ a_k $ より常に小さくなります。 class="math-container"> $ 2a_ {k-2} + 3a_ {K-3} $ は常に $ 3a_ {k-2} $ < / SPAN>

そのため、 $ 3a_k <= 3 ^ {k +次に $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} が $ A_N <= 3 ^ n $ すべてのn

私の証明の合法的な？

Answer 1

$ a_k \ geq 3a_ {k-1} $ であることを証明するつもりはない。 $$ A_3= 2a_2 + 3a_1= 2¥Cdot 9 + 3¥Cdot 2= 24 <3¥Cdot 9= 3a_2 $$

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$ A_K <3 ^ k $ はありません。 "math-container"> $ k $ 、 $ A_2= 9= 3 ^ 2 $ 以来それはおそらく能動です。

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誘導によって、すべてのNatural $ k $ の場合、 $ a_k \ leq 3 ^ k $ 。

$ A_1= 2 \ LEQ 3= 3 ^ 1 $ 。

$ a_ {k-2} \ req 3 ^ {k-2} $ と $ a_ { k-1} \ leq 3 ^ {k-1} $ 。あるいは、 $ a_t \ leq 3 ^ t $ $ t の場合、$ a_t \ leq 3 ^ t $ を想定することもできます。< / P>

$$ \ begin {align} A_K＆= 2A_ {K-1} + 3A_ {K-2} \\ ＆\ LEQ 2 \ CDOT 3 ^ {K-1} +3 \ CDOT 3 ^ {K-2} \\ ＆= 3 \ CDOT 3 ^ {K-1} \\ ＆= 3 ^ {k} \ end {align} $$

そのため、 $ a_ {k} \ leq 3 ^ {k} $ 。

誘導によって、すべてのNatural $ K $ の場合、 $ a_ {k} \ leq 3 ^ k $ 。