Mostra che la disuguaglianza vale per tutti i numeri interi positivi

Question

$ a_1= 2, a_2= 9, a_n= 2a_ {n-1} + 3a_ {n-2} $ per $ N>= 3 $

Mostra $ A_N <3 ^ N $ per tutti i numeri interi positivi n

Caso base: $ A_3= 2 * 9 + 3 * 2= 24 <= 3 ^ 3 $ è vero

ipotesi: $ a_k <= 3 ^ k $ per $ k \ epsilon \ mathbb {n} $ , mostra $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $

Begin:

$ a_k <= 3 ^ k $ implica $ 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $

per definizione: $ a_ {k + 1}= 2a_k + 3a_ {k-1} $

$ 2a_k + 3a_ {k-1} <= 2a_k + a_k= 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $

poiché $ 3a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + 2a_ {k-2} + 2a_ 3a_ {k-3} $

$ 3a_ {k-1} $ sarà sempre più piccolo di $ a_k $ perché < class="container math"> $ 2a_ {k-2} + 3a_ {k-3} $ è sempre più piccolo di $ 3a_ {k-2} $ < / span>

Quindi poiché $ a_ {k + 1} <= 3a_k $ e $ 3a_k <= 3 ^ {k + <= 3 ^ {k + 1} $ quindi $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $ che dimostra $ a_n <= 3 ^ n $ per tutti n

La mia prova è legittima?

Answer 1

Non dimostreremo che $ a_k \ geq 3a_ {k-1} $ perché non è vero: $$ A_3= 2A_2 + 3A_1= 2 \ CDOT 9 + 3 \ CDOT 2= 24 <3 \ CDOT 9= 3A_2 $$

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Non abbiamo anche $ a_k <3 ^ k $ per tutti $ k $ , Dal momento che $ a_2= 9= 3 ^ 2 $ . Questo è probabilmente un tipo di errore.

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Dimensione, per induzione, per induzione, che per tutta la classe naturale $ k $ abbiamo $ a_k \ leq 3 ^ k $ .

Abbiamo quella $ a_1= 2 \ leq 3= 3 ^ 1 $ .

Supponiamo che $ a_ {k-2} \ leq 3 ^ {k-2} $ e $ A_ { k-1} \ leq 3 ^ {k-1} $ . Oppure puoi supporre che $ a_t \ leq 3 ^ t $ per tutti $ t . < / P >.

Allora $$ \ Begin {allinea} A_K &= 2A_ {K-1} + 3A_ {K-2} \\ & \ Leq 2 \ cdot 3 ^ {k-1} +3 \ clot 3 ^ {k-2}} &= 3 \ cdot 3 ^ {k-1} \\ &= 3 ^ {k} \ end {allinea} $$

Pertanto, $ a_ {k} \ leq 3 ^ {k} $ .

per induzione, per tutte le Natural $ k $ Abbiamo quella $ a_ {k} \ leq 3 ^ k $ .