إسقاط نقاط من 4-الفضاء في الفضاء 3d في الرياضيات

Question

لنفترض أن لدينا مجموعة من النقاط مع تقييد لكل نقطة كل الإحداثيات غير سلبية ، مجموع الإحداثيات يساوي 1.وهذا يحد من النقاط تكمن في 3 الأبعاد البسيط لذلك فمن المنطقي أن تحاول الخريطة مرة أخرى في 3 الأبعاد مساحة التصور.

الخريطة أنا أبحث عن أن تأخذ النقاط المتطرفة (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0) و (0,0,0,1) إلى القمم "وضع جيد" العادية رباعي الوجوه.ولا سيما وسط رباعي الاسطح سوف يكون في أصل واحد vertex أن تقع على محور z ، وجها واحدا مواز x,y الطائرة و حافة واحدة أن تكون موازية للمحور x.

هنا هو رمز لا شيء مماثل على نقطة في 3 أبعاد ، ولكن هذا لا يبدو واضحا كيف أن تمتد إلى 4.أساسا أنا أبحث عن 4-د يعادلها من وظائف tosimplex (الذي يأخذ 4 أبعاد 3) وهو معكوس fromsimplex

A = Sqrt[2/3] {Cos[#], Sin[#], Sqrt[1/2]} & /@ 
    Table[Pi/2 + 2 Pi/3 + 2 k Pi/3, {k, 0, 2}] // Transpose;
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_}] := Most[A.{x, y, z}];
fromsimplex[{u_, v_}] := B.{u, v, Sqrt[1/3]};

(* checks *)
extreme = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
Graphics[Polygon[tosimplex /@ extreme]]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

الجواب:

واضحة صياغة deinst الجواب من حيث المصفوفات يعطي التالية.(1/الجذر التربيعي[4] يأتي 4th تنسيق لأنها المسافة إلى مركز البسيط)

A = Transpose[{{-(1/2), -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {1/2, -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, -(1/(2 Sqrt[3])) + Sqrt[3]/2, -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, 0, Sqrt[2/3] - 1/(2 Sqrt[6]), 1/Sqrt[4]}}];
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_, w_}] := Most[A.{x, y, z, w}];
fromsimplex[{t_, u_, v_}] := B.{t, u, v, 1/Sqrt[4]};

(* Checks *)
extreme = Table[Array[Boole[# == i] &, 4], {i, 1, 4}];
Graphics3D[Sphere[tosimplex[#], .1] & /@ extreme]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

Answer 1

تريد

   (1,0,0,0) -> (0,0,0)
   (0,1,0,0) -> (1,0,0)
   (0,0,1,0) -> (1/2,sqrt(3)/2,0)
   (0,0,0,1) -> (1/2,sqrt(3)/6,sqrt(6)/3))

وهو التحول الخطي بحيث يمكنك تحويل

   (x,y,z,w) - > (y + 1/2 * (z + w), sqrt(3) * (z / 2 + w / 6), sqrt(6) * w / 3)

تحرير هل تريد مركز في الأصل فقط طرح المتوسط من أربع نقاط.آسف

(1/2, sqrt(3)/6, sqrt(6) / 12)

Answer 2

احتمال واحد:

1. قم بتوليد أربعة محلات 3 (غير أردية) ، \vec{v}_i من وسط رباعي السطوح باتجاه كل قمة.
2. لكل أربعة منصب x = (x_1 .. x_4) تشكل مجموع المتجه \Sum_i x_i*\vec{v}_i.

---

بالطبع هذا التعيين ليس فريدًا بشكل عام ، لكنك شرط x_iمجموع ل 1 يقيد الأشياء.