从4D空间到Mathematica的3D空间的投影点

Question

假设我们有一组限制的点，即对于每个点，所有坐标都是非负的，并且坐标的总和等于1。这限制了点在3维单纯形中，因此尝试映射是有意义的它回到3维空间以进行可视化。

我要寻找的地图将获得极端点（1,0,0,0），（0,1,0,0），（0,0,1,0）和（0,0,0,1）到定位的定位四面体的顶点。特别是，四面体的中心将位于原点，一个顶点将位于z轴上，一张与x，y平面平行于x，y平面，一个边缘和一个边缘平行于x轴。

这里的代码在3个维度中对积分有类似的操作，但是如何将其扩展到4。基本上我正在寻找函数的4D等效物（将4个维度分为3），并且是逆的从simplex

A = Sqrt[2/3] {Cos[#], Sin[#], Sqrt[1/2]} & /@ 
    Table[Pi/2 + 2 Pi/3 + 2 k Pi/3, {k, 0, 2}] // Transpose;
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_}] := Most[A.{x, y, z}];
fromsimplex[{u_, v_}] := B.{u, v, Sqrt[1/3]};

(* checks *)
extreme = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
Graphics[Polygon[tosimplex /@ extreme]]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

回答：

在矩阵方面对Deinst的回答进行了直接的重新重新重新制定。 （1/sqrt [4]作为第四坐标，因为它是距离单纯形中心的距离）

A = Transpose[{{-(1/2), -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {1/2, -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, -(1/(2 Sqrt[3])) + Sqrt[3]/2, -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, 0, Sqrt[2/3] - 1/(2 Sqrt[6]), 1/Sqrt[4]}}];
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_, w_}] := Most[A.{x, y, z, w}];
fromsimplex[{t_, u_, v_}] := B.{t, u, v, 1/Sqrt[4]};

(* Checks *)
extreme = Table[Array[Boole[# == i] &, 4], {i, 1, 4}];
Graphics3D[Sphere[tosimplex[#], .1] & /@ extreme]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

Answer 1

你要

   (1,0,0,0) -> (0,0,0)
   (0,1,0,0) -> (1,0,0)
   (0,0,1,0) -> (1/2,sqrt(3)/2,0)
   (0,0,0,1) -> (1/2,sqrt(3)/6,sqrt(6)/3))

这是一个线性转换，所以您可以转换

   (x,y,z,w) - > (y + 1/2 * (z + w), sqrt(3) * (z / 2 + w / 6), sqrt(6) * w / 3)

编辑 您希望该中心位于原点 - 只需减去四个点的平均值即可。对不起

(1/2, sqrt(3)/6, sqrt(6) / 12)

Answer 2

一种可能性：

1. 产生四个（非正交）3个向量， \vec{v}_i 从四面体的中心伸向每个顶点。
2. 对于每个四个位置 x = (x_1 .. x_4) 形成矢量和 \Sum_i x_i*\vec{v}_i.

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当然，此映射通常不是唯一的，但是您可以调节 x_i的总和1限制了事物。