les points Projeter de 4d-espace en 3D-espace dans Mathematica

Question

Supposons que nous avons un ensemble de points avec la restriction que pour chaque point toutes les coordonnées sont non négatifs, et la somme des coordonnées est égal à 1. Ceci limite les points à se trouver dans un simplex trois dimensions de sorte qu'il est logique de essayez de mapper de nouveau dans l'espace 3 dimensions pour la visualisation.

La carte Je cherche prendrait des points extrêmes (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) et (0,0,0 , 1) aux sommets de « bien placé » tétraèdre régulier. En particulier, le centre du tétraèdre sera à l'origine, un sommet ne se trouvent sur l'axe des z, une face parallèle à au plan x, y, et un bord soit parallèle à l'axe x.

Code est ici qui fait la même chose pour les points en 3 dimensions, mais il ne semble pas évident de l'étendre à 4. Au fond, je suis à la recherche d'équivalents de fonctions 4-d tosimplex (qui prend 4 dimensions en 3) et il est inverse fromsimplex

A = Sqrt[2/3] {Cos[#], Sin[#], Sqrt[1/2]} & /@ 
    Table[Pi/2 + 2 Pi/3 + 2 k Pi/3, {k, 0, 2}] // Transpose;
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_}] := Most[A.{x, y, z}];
fromsimplex[{u_, v_}] := B.{u, v, Sqrt[1/3]};

(* checks *)
extreme = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
Graphics[Polygon[tosimplex /@ extreme]]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

Réponse:

simple reformulation de la réponse de deinst en termes de matrices suivant donne. (1 / sqrt [4] est comme 4ème coordonnée parce qu'il est la distance au centre simplex)

A = Transpose[{{-(1/2), -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {1/2, -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, -(1/(2 Sqrt[3])) + Sqrt[3]/2, -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, 0, Sqrt[2/3] - 1/(2 Sqrt[6]), 1/Sqrt[4]}}];
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_, w_}] := Most[A.{x, y, z, w}];
fromsimplex[{t_, u_, v_}] := B.{t, u, v, 1/Sqrt[4]};

(* Checks *)
extreme = Table[Array[Boole[# == i] &, 4], {i, 1, 4}];
Graphics3D[Sphere[tosimplex[#], .1] & /@ extreme]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

Answer 1

Vous voulez

   (1,0,0,0) -> (0,0,0)
   (0,1,0,0) -> (1,0,0)
   (0,0,1,0) -> (1/2,sqrt(3)/2,0)
   (0,0,0,1) -> (1/2,sqrt(3)/6,sqrt(6)/3))

Et il est une transformation linéaire de sorte que vous transformez

   (x,y,z,w) - > (y + 1/2 * (z + w), sqrt(3) * (z / 2 + w / 6), sqrt(6) * w / 3)

Modifier Vous voulez que le centre à l'origine - juste soustrayez la moyenne des quatre points. Désolé

(1/2, sqrt(3)/6, sqrt(6) / 12)

Answer 2

Une possibilité:

1. Générer quatre (non orthoganal) 3-vecteurs, \vec{v}_i du centre du tétraèdre vers chaque sommet.
2. pour chaque forme x = (x_1 .. x_4) quatre positions de la somme vectorielle \Sum_i x_i*\vec{v}_i.

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Bien sûr, ce mappage n'est pas unique en général, mais vous condition que la somme du x_i à 1 Contraint les choses.