给定尺寸的（不同）电路的数量下限？

Question

对于带 $ n $ 输入位的电路，我们知道，对于任何功能 $ s $ ，最多有 $ O（s（n）^ {s（n）}）= o（2 ^ {s（n）\ log s（n）}）$ < / SPAN>大多数尺寸的电路 $ S（n）$ 。

说两个电路 $ c_1 $ 和 $ c_2 $ 不同如果它们计算的函数是不同的，也就是说，有一个 $ n $ -bit string $ x $ 使<跨度类=“math-container”> $ c_1（x）\ neq c_2（x）$ 。 $ o（s（n）^ {s（n）}）$ 上面的绑定是在电路的数量上的上限给定的大小。是否有一个已知的下限，在大多数 $ s（n）$ s（n）$ s（n）$ 的 $ s（n）$ （例如， $ s（n）\ in \ mathsf {poly}（n）$ ， $ s（n）\在n ^ {\ textsf {polylog}（n）} $ ，或 $ s（ n）= 2 ^ {n \ varepsilon} $ ）？

显然，这种界限必须严格小于 $ o（s（n）^ {s（n）}）$ 绑定，因为存在对电路成对具有不同的结构（甚至不同数量的栅极），并且尽管如此计算相同的功能（即，它们不是上面定义的“不同”） - 但它是多大的？

Answer 1

让 $ 1000 \ leq s \ leq 2 ^ n / n $ 。 $ m $ 比特的每个功能都可以由大小的电路计算 $ o（2 ^ m / m）$ （我认为即使是已知的最佳常数也是如此。选择 $ m $ 的值，使得可以通过电路计算 $ m $ 比特的每个功能大小 $ s $ ，此外 $ s=oomega（2 ^ m / m）$ 。 由于存在 $ 2 ^ {2 ^ m}= s ^ {\ oomga（s）} $ $ m$ 比特，我们看到你的上限很紧。