Unterseite der Anzahl der (unterschiedlichen) Stromkreise der gegebenen Größe?

Question

für Schaltungen mit $ N $ Eingangsbits, wissen wir, dass für jede Funktion $ s $ , es gibt höchstens $ o (s (n) ^ {s (n)})= o (2 ^ {s (n) \ log s (n)}) $ < / span> Schaltungen mit Größe höchstens $ s (n) $ .

Sagen Sie zwei Schaltkreise $ C_1 $ und $ c_2 $ sind anders Wenn die Funktion, die sie berechnen, unterschiedlich ist, ist das ein $ N $ -bit String $ x $ so, dass $ c_1 (x) \ neq c_2 (x) $ . Der $ o (S (n) ^ {s (n)}) $ oben ist eine obere Grenze auf der Anzahl der Schaltungen von eine gegebene Größe. Gibt es eine bekannte -untergrenze auf der Anzahl der verschiedenen Schaltungen mit der Größe in den meisten $ s (n) $ für verschiedene Werte von $ s (n) $ (zB $ s (n) \ in \ mathsf {poly} (n) $ , $ s (n) \ in n ^ {\ textsf {polylog} (n)} $ oder $ s ( n)= 2 ^ {n ^ \ varepsilon} $ )?

eindeutig ein solches gebundenes muss streng kleiner sein als der $ o (s (n) ^ {s (n)}) $ gebunden, da es Paare von Kreisläufen gibt mit unterschiedlichen Strukturen (und sogar unterschiedlicher Anzahl von Toren) und der dennoch dieselbe Funktion berechnen (dh sie sind nicht wie oben definiert) - aber wie kleiner kann es sein?

Answer 1

lass $ 1000 \ leq s \ leq 2 ^ n / n $ . Jede Funktion auf $ M $ Bits kann von einer Kreislauf der Größe $ O (2 ^ m / m) berechnet werden (2 ^ m / m) $ (Ich glaube, dass auch die optimale Konstante bekannt ist).Wählen Sie einen Wert von $ M $ so, dass jede Funktion auf $ M $ Bits von einem Stromkreis berechnet werden kannder Größe $ s $ , und außerdem $ s=omega (2 ^ m / m) $ . Da es $ 2 ^ {2 ^ m} gibt$ Bits, wir sehen, dass Ihre obere Grenze recht eng ist.