Нижняя граница на количестве (разных) цепей данного размера?

Question

Для цепей с $ n $ входные биты, мы знаем, что для любой функции $ S $ , в большинстве $ o (s (n) ^ {s (n)})= o (2 ^ {s (n) \ log s (n)}) $ < / Span> Circuits с размером на большинстве $ s (n) $ .

Скажите два цепей $ C_1 $ и $ C_2 $ Если функция, которую они вычисляют, отличается, то есть, есть, есть $ n $ string $ x $ Такое, что $ c_1 (x) \ neq c_2 (x) $ . $ o (s (s (n) ^ {s (n)}) $ связанный выше, представляет собой верхнюю границу на количестве цепей данный размер. Есть ли известные более низкие связанные на количестве различных цепей с размером максимально $ s (n) $ для разных значений <класса SPAN= «Математический контейнер»> $ S (N) $ (например, $ S (N) \ in \ mathsf {Poly} (n) $ , $ s (n) \ в n ^ {\ textsf {polylog} (n)} $ или $ s ( n)= 2 ^ {n ^ \ varepsilon} $ )?

Очевидно, что такая граница должна быть строго меньше, чем $ o (s (n) ^ {s (n)}) $ Связается, поскольку есть пары цепей с разными структурами (и даже разным количеством ворот), и которые тем не менее вычисляют ту же функцию (т. Е. Они не «разные», как определено выше) - но насколько меньше может быть?

Answer 1

Пусть $ 1000 \ leq s \ leq 2 ^ n / n $ . Каждая функция на $ m $ Bits может быть вычислена с помощью размера $ o (2 ^ m / m) $ (Я считаю, что даже оптимальная константа известна).Выберите значение $ m $ Таким, что каждая функция на $ m $ Bits может быть вычисляется с помощью цепиРазмер $ s $ и, кроме того $ S=Omega (2 ^ м / м) $ . Поскольку есть $ 2 ^ {2 ^ m}= s ^ {\ Omega (s)} $ Разные функции на $ m$ биты, мы видим, что ваша верхняя граница довольно плотная.