鉴于锦标赛以2美元的$ 2 ^ n $顶点，表明有一个带有至少$ n + 1 $顶点的子锦标赛，这是无循环的

Question

所以锦标赛只是一个完整的指示图，我相信。

我难以证明这个问题。然而，我知道它是诱导的。我刚在想 基本情况是<跨度类=“math-container”> $ 2 ^ 1 $ 顶点，因此我们具有1 + 1顶点的子锦标赛，该次举起。

然后在我们的归纳步骤中，我们必须显示 $ 2 ^ {n + 1} $ 。但我不确定如何接近这个。任何想法都会非常感激。

Answer 1

锦标赛是一种无环定向图 $ g=（v，e）$ ，其中，对于每对不同的顶点 $ u，v \ in v $ ，恰好 $（u，v）$ 和 $（v，u）$ 在 $ e $ 。

索赔证明是归纳。

为 $ n= 0 $ 由于锦标赛 $ g $ ，因此索赔是如此class=“math-container”> $ 2 ^ 0= 1 $ 顶点是琐碎的acclic，它只有 $ 0 + 1= 1 $ 的子锦标赛顶点是 $ g $ 本身。

现在假设索赔最多包含一些 $ n \ ge 0 $ ，并考虑锦标赛 $ g=（ v，e）$ 使用 $ | v |= 2 ^ {n + 1} $ 。选择一个任意顶点 $ v \ v $ ，并分区 $ v \ setminus \ {v \} $的顶点分为两个sets $ l={u \ in v \ setminus \ {v \} \ mid（u，v）\中的e \} $ 和 $ r= {u \ in v \ setMinus \ {v \} \ mid（v，u）\中的e \} $ 。 $ l $ 和 $ r $ 必须包含至少 $ \ left \ lceil \ frac {| v \ setminus \ {v \} |} {2} \ \ rectle \ rceil=left \ lceil \ frac {2 ^ {n + 1} - 1} {2} \ \ Rceil= 2 ^ $ 顶点。任意选择 $ 2 ^ $ 顶点从此设置，并调用所选顶点 $ s $ 。 通过归纳假设 $ S $ 包含非循环子锦标赛 $ s'$ 大小 $ N + 1 $ ，并且由于 $ S'\ Subseteq S \ subseteq L $ 或 $ s'\ subseteq s \ subseteq r $ ，我们有这个 $ s'\ cup \ {v \} $ 也是无循环的。这证明了由于 $ | S'\ Cup \ {v \} |= | s'| + 1= n + 2 $ 。