$ 2 ^ n $ vertices와 함께 토너먼트가 주어지면 acyclic 인 최소 $ n + 1 $ 정점이있는 하위 토너먼트가 있음을 보여줍니다.

Question

토너먼트는 완벽한 지시 그래프 일뿐입니다.

이 문제를 증명하는 데 어려움이 있습니다.그러나 나는 그것이 유도임을 알고 있습니다.나는 생각하고 있었다 기본 케이스는 $ 2 ^ 1 $ 정점이므로 보유하는 1 + 1 정점의 하위 토너먼트가 있습니다.

그런 다음 유도 단계에서 $ 2 ^ {n + 1} $ 을 보여 주어야합니다.그러나 나는 이것을 어떻게 접근하는지 확신하지 못한다.어떤 아이디어가 매우 높이 평가 될 것입니다.

Answer 1

토너먼트는 루프가없는 지시 그래프 $ g= (v, e) $ $ u, v $ , $ (u, v) $ 및 $ (v, u) $ 은 $ e $ 입니다.

귀하의 청구 증명은 유도에 의한 것입니다.

$ n= 0 $ 토너먼트 $ g $ $ 2 ^ 0= 1 $ 정점은 $ 0 + 1= 1 $ 과 함께있는 단지 아비 클립과 함께합니다. 정점은 $ G $ 자체입니다.

클레임이 일부 $ n \ ge 0 $ 을 유지하고 토너먼트 $ g= ( v, e) $ | v |= 2 ^ {n + 1} $ 을 사용하여 $ . v $ 에서 임의의 정점 $ v \ \ \ $ v \ setminus \ {v \} $의 정점을 파티션하십시오. $ l=\ {v \} \ \ u, \ vid (u, v) \ \ \ \ \ \ \ \ \ span> 및 $ r=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ span>. $ l $ 및 $ r $ 은 적어도 $ \ left \ lceil \ frac {| v \ setminus \ {v \} |} {2} \ right \ rceil=left \ lceil \ frac {2 ^ {n + 1} - 1} {2} \ right \ rceil= 2 ^ n $ 정점. 이 세트에서 $ 2 ^ n $ 꼭지점을 임의로 선택하고 선택한 정점 $ s $ ...에 유도 성의 가설 $ s $ 은 acyclic 하위 토너먼트 $ s '$ 의 크기 $ n + 1 $ 및 $ s '\ subetq s \ subetetq l $ 또는 $ s '\ subeteq s \ subeteq r $ , 우리는 $ s'\ cup \ {v \} $ 도 acyclic이기도합니다. ...에 이것은 $ | s '\ cup \ {v \} 이후로 청구를 증명합니다.= | | S '| + 1= N + 2 $ .